库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
三个点电荷位于一条直线上：左边为 −5 µC，右边相距 30 cm 处为 −8 µC，两者之间距左边电荷 22.5 cm 处为 −6 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = −5 µCqR = −8 µCqM = −6 µCrL = 22.5 cmrR = 7.5 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 4 µC 位于直角顶点，q₁ = 1 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 10 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 1 µCq2 = 10 µCq3 = 4 µCr13 = 6 cmr23 = 5 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 ΩR5 = 6 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。
Vs = 15 VR = 47 ΩL = 220 mHt = 5 ms
W = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 13.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 1000 ms。 已知 R = 2.2 kΩ，求所需的电容 C。
Vs = 15 VVth = 13.5 VT = 1000 msR = 2.2 kΩ
C = µF
7.磁场与电磁感应中等
一个正方形回路向右运动，进入磁场方向为垂直进入纸面的均匀磁场区域。回路进入磁场时，点选图中所见的回路感应电流方向。
B: 垂直进入纸面进入磁场
- 1顺时针
- 2逆时针
8.磁场与电磁感应困难
一个质子从静止开始，经电势差 5000 V 加速后，垂直进入 0.3 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0.3 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电容并联接在 24 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩC = 47 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 71.39 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
每个电荷产生的力
向右为正。
FL = +k·5·6 × 10⁻¹²/0.225² = 5.327 N
FR = −k·8·6 × 10⁻¹²/0.075² = −76.71 N
合力
F = 5.327 + (−76.71) = −71.39 N → |F| = 71.39 N
答案
F = 71.39 N
合力向左。
2.库仑定律与电场
答案: F = 144.2 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·1·4 × 10⁻¹²/0.06² = 9.989 N
F2 = k·10·4 × 10⁻¹²/0.05² = 143.8 N
矢量和
F = √(9.989² + 143.8²) = 144.2 N
答案
F = 144.2 N
3.串并联电阻
答案: IR2 = 1.213 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 4 + 20 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 2·24/(2+24) = 1.846 Ω
Req = R1 + 1.846 = 5 + 1.846 = 6.846 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 9/6.846 = 1.315 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1.315·5 = 2.427 V
IR2 = VA/R2 = 2.427/2 = 1.213 A
答案
IR2 = 1.213 A
4.串并联电阻
答案: IR1 = 2.381 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 6 + 30 = 36 Ω
R4 ∥ 36 = 9 Ω
R3 + 9 = 19 Ω
R2 ∥ 19 = 4.56 Ω
Req = R1 + 4.56 = 3 + 4.56 = 7.56 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/7.56 = 2.381 A
答案
IR1 = 2.381 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: W = 4.827 mJ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A
给定时刻的电流
i(t) = 0.3191·(1 − e−5/4.681) = 0.2095 A
储存的能量
W = ½·L·i² = ½·220·0.2095² = 4.827 mJ
答案
W = 4.827 mJ
6.RC 和 RL 暂态
答案: C = 197.4 µF
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
13.5 = 15·(1 − e−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 13.5))
τ = 1000/2.303 = 434.3 ms
电容
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
C = τ/R = 434.3/2.2 = 197.4 µF
答案
C = 197.4 µF
7.磁场与电磁感应
答案: 逆时针
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
磁通量的变化
进入纸面的磁通量增大，或穿出纸面的磁通量减小。
感应电流的磁场
感应电流阻碍这一变化。
回路内部的感应磁场：穿出纸面。
电流的方向
右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。
逆时针
答案
逆时针
8.磁场与电磁感应
答案: r = 3.406 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速后的速率
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·5000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 978551 m/s
磁场中的半径
r = mv/(|q|B) = 0.03406 m = 3.406 cm
答案
r = 3.406 cm
合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.4643 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 24/80 = 0.3 A
IX = V/XC = 24/67.73 = 0.3544 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(0.3² + 0.3544²) = 0.4643 A
答案
I = 0.4643 A
10.交流阻抗和相量
答案: I = 1.771 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−82.87)²) = 129.9 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 230/129.9 = 1.771 A
答案
I = 1.771 A
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