物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 −1 µC，右边相距 10 cm 处为 −6 µC，两者之间距左边电荷 4 cm 处为 +6 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −1 µCq_R = −6 µCq_M = +6 µCr_L = 4 cmr_R = 6 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 6 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 6 µCq₂ = 6 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 1.25 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 2.5 AR = 20 ΩL = 47 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3 V 时它必须触发，恰好在开始后 500 ms。已知 C = 100 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 5 VV_th = 3 VT = 500 msC = 100 µF

R = kΩ

7.磁场与电磁感应中等

一根长 40 cm 的金属杆以 4 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.5 T 均匀磁场中。导轨之间接有 2.5 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求电阻上消耗的功率 P。

B = 0.5 TL = 40 cmv = 4 m/sR = 2.5 Ω

P = mW

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 400 匝，长度为 10 cm，直径为 2.5 cm。当它通有 4 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 400l = 10 cm⌀ = 2.5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 20 mHC = 0.1 µF

V_L = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 56.19 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = −k·1·6 × 10⁻¹²/0.04² = −33.71 N

F_R = +k·6·6 × 10⁻¹²/0.06² = 89.9 N

合力

F = −33.71 + (89.9) = 56.19 N → |F| = 56.19 N

答案

F = 56.19 N

合力向右。

2.库仑定律与电场

答案: F = 180.5 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·6·3 × 10⁻¹²/0.03² = 179.8 N

F₂ = k·6·3 × 10⁻¹²/0.1² = 16.18 N

矢量和

F = √(179.8² + 16.18²) = 180.5 N

答案

F = 180.5 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.4714 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 3·30/(3+30) = 2.727 Ω

R_eq = R₁ + 2.727 = 10 + 2.727 = 12.73 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/12.73 = 0.4714 A

答案

I_R1 = 0.4714 A

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.3034 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 4 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 7.5 Ω

R₃ + 7.5 = 11.5 Ω

R₂ ∥ 11.5 = 4.718 Ω

R_eq = R₁ + 4.718 = 5 + 4.718 = 9.718 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/9.718 = 0.5145 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0.5145·5 = 2.427 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.427/8 = 0.3034 A

答案

I_R2 = 0.3034 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.629 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2.35 ms

求解时间

1.25 = 2.5·e^−t/τ → t = τ·ln(2.5/1.25)

t = 2.35·ln(2) = 1.629 ms

答案

t = 1.629 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 5.457 kΩ

所需的时间常数

3 = 5·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(5/(5 − 3))

τ = 500/0.9163 = 545.7 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 545.7/100 = 5.457 kΩ

答案

R = 5.457 kΩ

7.磁场与电磁感应

答案: P = 256 mW

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.5·0.4·4 = 0.8 V

电流

I = ε/R = 0.8/2.5 = 0.32 A

功率

P = εI = 0.8·0.32 = 0.256 W

答案

P = 256 mW

8.磁场与电磁感应

答案: W = 7.896 mJ

自感

L = μ₀N²A/l = 987 µH

储存的能量

W = ½LI² = ½·0.000987·4² = 0.007896 J = 7.896 mJ

答案

W = 7.896 mJ

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.2365 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−81.85)²) = 101.5 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/101.5 = 0.2365 A

答案

I = 0.2365 A

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 44.72 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·0.1·10⁻⁶) = 22361 rad/s

I = V/R = 5/50 = 0.1 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 22361·0.02 = 447.2 Ω

V_L = I·X_L = 0.1·447.2 = 44.72 V

答案

V_L = 44.72 V

这是电源电压的 Q = 8.944 倍。

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