物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++8 µC++5 µCP50 cm

一个 +8 µC 的电荷与一个 +5 µC 的电荷相距 50 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 30 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q1 = +8 µCq2 = +5 µCr1 = 30 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
8 cm6 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +3 µC

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 4 µC 位于直角顶点，q₁ = 8 µC 沿一条直角边距它 8 cm，q₂ = 3 µC 沿另一条直角边距它 6 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q1 = 8 µCq2 = 3 µCq3 = 4 µCr13 = 8 cmr23 = 6 cm
F = N
3.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩIR2​AR4​10 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R = 22 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

Vs = 12 VR = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 4.7 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 8.8 V？求 t。

Vs = 10 VR = 4.7 kΩC = 220 µFvC(0) = 8 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
8 A20 Ad = 8 cm

两根相距 8 cm 的长平行导线通有同方向的 8 A 和 20 A 电流。求它们之间每米长度所受的力 F/L。

I1 = 8 AI2 = 20 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁场与电磁感应困难
l = 30 cmN = 1500, ⌀ 1.5 cm

一个长空心螺线管有 1500 匝，长度为 30 cm，直径为 1.5 cm。求它的自感 L。

N = 1500l = 30 cm⌀ = 1.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.交流阻抗和相量中等
100 V200 HzR = 60 ΩC = 47 µFI

一个电阻和一个电容并联接在 100 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩC = 47 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
10 V500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 10 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 10 µF
VC = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 324639 N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.3² = 799111 N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0.2² = 1.124 × 10⁶ N/C

方向与合成

两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。

E = |799111 − 1.124 × 10⁶| = 324639 N/C

答案

E = 324639 N/C
2.库仑定律与电场

答案: F = 54.02 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F1 = k·8·4 × 10⁻¹²/0.08² = 44.95 N
F2 = k·3·4 × 10⁻¹²/0.06² = 29.97 N

矢量和

F = √(44.95² + 29.97²) = 54.02 N

答案

F = 54.02 N
3.串并联电阻

答案: IR2 = 0.6356 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​10 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 10 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 20·25/(20+25) = 11.11 Ω
Req = R1 + 11.11 = 2 + 11.11 = 13.11 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/13.11 = 1.144 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1.144·2 = 12.71 V
IR2 = VA/R2 = 12.71/20 = 0.6356 A

答案

IR2 = 0.6356 A
4.串并联电阻

答案: Req = 11.66 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 13.33 Ω
R3 + 13.33 = 43.33 Ω
R2 ∥ 43.33 = 3.662 Ω
Req = R1 + 3.662 = 8 + 3.662 = 11.66 Ω

答案

Req = 11.66 Ω
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4373 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3.091 ms
i(∞) = Vs/R = 12/22 = 0.5455 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.5455·(1 − e−5/3.091) = 0.4373 A

答案

i = 0.4373 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 528.2 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 220 µF = 1034 ms
vC(t) = 10 + (8 − 10)·e−t/τ

求解时间

8.8 = 10 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (8.8 − 10)/(8 − 10) = 0.6
t = τ·ln((8 − 10)/(8.8 − 10)) = 1034·ln(1.667) = 528.2 ms

答案

t = 528.2 ms
7.磁场与电磁感应

答案: F/L = 400 µN/m

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

每米长度所受的力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·8·20/0.08 = 400 µN/m

答案

F/L = 400 µN/m

同方向的电流相互吸引。

8.磁场与电磁感应

答案: L = 1.665 mH

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

横截面

A = π·(0.0075)² = 0.0001767 m²

自感

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1500²·0.0001767/0.3 = 0.001665 H = 1.665 mH

答案

L = 1.665 mH
9.交流阻抗和相量

答案: I = 6.137 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 100/60 = 1.667 A
IX = V/XC = 100/16.93 = 5.906 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(1.667² + 5.906²) = 6.137 A

答案

I = 6.137 A
10.交流阻抗和相量

答案: VC = 3.04 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (31)²) = 104.7 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/104.7 = 0.09552 A

电容电压

VC = I·XC = 0.09552·31.83 = 3.04 V

答案

VC = 3.04 V

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