物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
−−4 µC−−8 µC++6 µC15 cm + 5 cm

三个点电荷位于一条直线上：左边为 −4 µC，右边相距 20 cm 处为 +6 µC，两者之间距左边电荷 15 cm 处为 −8 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −4 µCqR = +6 µCqM = −8 µCrL = 15 cmrR = 5 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
4 cm6 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +6 µC

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 5 µC 位于直角顶点，q₁ = 8 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 6 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q1 = 8 µCq2 = 6 µCq3 = 5 µCr13 = 4 cmr23 = 6 cm
F = N
3.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩIR2​AR4​3 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 10 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩAR4​3 ΩBR6​15 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 36 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 ΩR4 = 3 ΩR5 = 4 ΩR6 = 15 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R = 47 ΩL22 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 12 VR = 47 ΩL = 22 mH
W(∞) = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 1 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 10 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 7 V？求 t。

Vs = 5 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 10 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
−v = 2.5 × 10⁶ m/sB = 20 mT

一个电子在 20 mT 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 20 mT
T = ns
8.磁场与电磁感应困难
N1​ = 500, l = 20 cmN2​ = 20M = ?

一个 20 匝的短线圈紧紧绕在一个 500 匝、长 20 cm、直径 2 cm 的长螺线管的中部。求它们的互感 M。

N1 = 500N2 = 20l = 20 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.交流阻抗和相量中等
10 V100 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 100 µF

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 100 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
1 Vf0​R = 5 ΩL = 10 mHC = 0.22 µF

一个 RLC 串联电路由 1 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 1 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 0.22 µF
VL = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 185.4 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

FL = +k·4·8 × 10⁻¹²/0.15² = 12.79 N
FR = +k·6·8 × 10⁻¹²/0.05² = 172.6 N

合力

F = 12.79 + (172.6) = 185.4 N → |F| = 185.4 N

答案

F = 185.4 N

合力向右。

2.库仑定律与电场

答案: F = 236.9 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F1 = k·8·5 × 10⁻¹²/0.04² = 224.7 N
F2 = k·6·5 × 10⁻¹²/0.06² = 74.92 N

矢量和

F = √(224.7² + 74.92²) = 236.9 N

答案

F = 236.9 N
3.串并联电阻

答案: IR2 = 0.8485 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 3 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 12·7/(12+7) = 4.421 Ω
Req = R1 + 4.421 = 6 + 4.421 = 10.42 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/10.42 = 2.303 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2.303·6 = 10.18 V
IR2 = VA/R2 = 10.18/12 = 0.8485 A

答案

IR2 = 0.8485 A
4.串并联电阻

答案: IR1 = 3.76 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​10 ΩAR4​3 ΩBR6​15 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 15 = 19 Ω
R4 ∥ 19 = 2.591 Ω
R3 + 2.591 = 12.59 Ω
R2 ∥ 12.59 = 5.573 Ω
Req = R1 + 5.573 = 4 + 5.573 = 9.573 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 36/9.573 = 3.76 A

答案

IR1 = 3.76 A
5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 0.7171 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms
i(∞) = Vs/R = 12/47 = 0.2553 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·22·0.2553² = 0.7171 mJ

答案

W(∞) = 0.7171 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 20.16 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 5 + (10 − 5)·e−t/τ

求解时间

7 = 5 + (5)·e−t/τ → e−t/τ = (7 − 5)/(10 − 5) = 0.4
t = τ·ln((10 − 5)/(7 − 5)) = 22·ln(2.5) = 20.16 ms

答案

t = 20.16 ms
7.磁场与电磁感应

答案: T = 1.786 ns

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

圆周运动的周期

更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9.109 × 10⁻³¹/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.02) = 1.786 ns

答案

T = 1.786 ns

不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。

8.磁场与电磁感应

答案: M = 19.74 µH

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

互感

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·20·0.0003142/0.2 = 19.74 µH

答案

M = 19.74 µH
9.交流阻抗和相量

答案: φ = 49.55 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (46.92)²) = 61.65 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(46.92/40) = 49.55°

答案

φ = 49.55°
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 42.64 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·0.22·10⁻⁶) = 21320 rad/s
I = V/R = 1/5 = 0.2 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 21320·0.01 = 213.2 Ω
VL = I·XL = 0.2·213.2 = 42.64 V

答案

VL = 42.64 V

这是电源电压的 Q = 42.64 倍。

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