库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +5 µC 的电荷与一个 −5 µC 的电荷相距 30 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +5 µCq2 = −5 µCr1 = 12 cmr2 = 18 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 3 µC 沿一条直角边距它 5 cm，q₂ = 1 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 3 µCq2 = 1 µCq3 = 3 µCr13 = 5 cmr23 = 5 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 36 VR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 ΩR5 = 12 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 电流降到 1 A 需要多长时间？求 t。
i(0) = 2 AR = 68 ΩL = 22 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 5 ms 时的电感电流 i。
Vs = 9 VR1 = 22 ΩR2 = 15 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
一个质子以 2 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 1.5 T 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sB = 1.5 T
r = cm
8.磁场与电磁感应困难
一个 α 粒子不发生偏转地通过正交电场 E = 5 × 10⁵ V/m 和磁场 B₁ = 0.1 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 0.4 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。
E = 5 × 10⁵ V/mB1 = 0.1 TB2 = 0.4 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。
V = 120 V (rms)f = 100 HzR1 = 40 ΩR2 = 30 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 4.509 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.12² = 3.122 × 10⁶ N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0.18² = 1.387 × 10⁶ N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |3.122 × 10⁶ + 1.387 × 10⁶| = 4.509 × 10⁶ N/C
答案
E = 4.509 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: F = 34.11 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·3·3 × 10⁻¹²/0.05² = 32.36 N
F2 = k·1·3 × 10⁻¹²/0.05² = 10.79 N
矢量和
F = √(32.36² + 10.79²) = 34.11 N
答案
F = 34.11 N
3.串并联电阻
答案: IR1 = 1.935 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 6 + 10 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 4·16/(4+16) = 3.2 Ω
Req = R1 + 3.2 = 3 + 3.2 = 6.2 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 12/6.2 = 1.935 A
答案
IR1 = 1.935 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.6266 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 12 + 8 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 6.667 Ω
R3 + 6.667 = 14.67 Ω
R2 ∥ 14.67 = 9.244 Ω
Req = R1 + 9.244 = 12 + 9.244 = 21.24 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 36/21.24 = 1.695 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1.695·12 = 15.66 V
IR2 = VA/R2 = 15.66/25 = 0.6266 A
答案
IR2 = 0.6266 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 0.2243 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0.3235 ms
求解时间
1 = 2·e−t/τ → t = τ·ln(2/1)
t = 0.3235·ln(2) = 0.2243 ms
答案
t = 0.2243 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.3294 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。
i(0) = 9/(22 + 15) = 0.2432 A
i(∞) = 9/22 = 0.4091 A
τ = L/R = 150/22 = 6.818 ms
i(t) = 0.4091 + (0.2432 − 0.4091)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(5) = 0.4091 + (−0.1658)·e−5/6.818 = 0.3294 A
答案
i = 0.3294 A
7.磁场与电磁感应
答案: r = 1.392 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力的平衡
磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 1.673 × 10⁻²⁷·2 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·1.5) = 0.01392 m = 1.392 cm
答案
r = 1.392 cm
8.磁场与电磁感应
答案: r = 25.92 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 5 × 10⁵/0.1 = 5 × 10⁶ m/s
第二个磁场中的半径
r = mv/(|q|B2) = 0.2592 m = 25.92 cm
答案
r = 25.92 cm
9.交流阻抗和相量
答案: cos φ = 0.1615
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = 75.4 Ω, XC = 564.4 Ω
阻抗
|Z| = √(80² + (−489)²) = 495.5 Ω
功率因数
cos φ = R/|Z| = 80/495.5 = 0.1615
电路是容性的，所以功率因数超前。
答案
cos φ = 0.1615
10.交流阻抗和相量
答案: |Z| = 58.73 Ω
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 16.81 − j14.89 Ω
总阻抗
Z = 40 + 16.81 − j14.89 = 56.81 − j14.89 Ω
|Z| = √(56.81² + 14.89²) = 58.73 Ω
答案
|Z| = 58.73 Ω
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