库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+4 µC 和 +10 µC 的两个电荷相距 30 cm。在两者之间的连线上，距 +4 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +4 µCq2 = +10 µCd = 30 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 10 g 的相同小球用长 20 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 12° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 10 gL = 20 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 ΩR4 = 3 ΩR5 = 30 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。
Vs = 9 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 6 V 时它必须触发，恰好在开始后 50 ms。 已知 R = 2.2 kΩ，求所需的电容 C。
Vs = 12 VVth = 6 VT = 50 msR = 2.2 kΩ
C = µF
7.磁场与电磁感应中等
两根相距 15 cm 的长平行导线通有反方向的 10 A 和 20 A 电流。求它们之间每米长度所受的力 F/L。
I1 = 10 AI2 = 20 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁场与电磁感应困难
一个质子从静止开始，经电势差 2000 V 加速后，垂直进入 0.25 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0.25 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电容并联接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩC = 47 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。
V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 0.22 µF
VL = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 11.62 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
4/x² = 10/(30 − x)²
(30 − x)/x = √(10/4) = 1.581
位置
x = 30/(1 + 1.581) = 11.62 cm
答案
x = 11.62 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: q = 126.7 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 12° = 0.02085 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 12° = 0.08316 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.08316·√(0.02085/8.99 × 10⁹) = 1.267 × 10⁻⁷ C = 126.7 nC
答案
q = 126.7 nC
3.串并联电阻
答案: Req = 8 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 2 + 8 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Req = R1 + 5 = 3 + 5 = 8 Ω
答案
Req = 8 Ω
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.8558 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 30 + 30 = 60 Ω
R4 ∥ 60 = 2.857 Ω
R3 + 2.857 = 32.86 Ω
R2 ∥ 32.86 = 4.34 Ω
Req = R1 + 4.34 = 20 + 4.34 = 24.34 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 24/24.34 = 0.986 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 0.986·20 = 4.279 V
IR2 = VA/R2 = 4.279/5 = 0.8558 A
答案
IR2 = 0.8558 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.8073 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2.2 ms
i(∞) = Vs/R = 9/10 = 0.9 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.9·(1 − e−5/2.2) = 0.8073 A
答案
i = 0.8073 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: C = 32.79 µF
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
6 = 12·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 6))
τ = 50/0.6931 = 72.13 ms
电容
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
C = τ/R = 72.13/2.2 = 32.79 µF
答案
C = 32.79 µF
7.磁场与电磁感应
答案: F/L = 266.7 µN/m
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
每米长度所受的力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·10·20/0.15 = 266.7 µN/m
答案
F/L = 266.7 µN/m
反方向的电流相互排斥。
8.磁场与电磁感应
答案: r = 2.585 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速后的速率
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·2000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 618890 m/s
磁场中的半径
r = mv/(|q|B) = 0.02585 m = 2.585 cm
答案
r = 2.585 cm
合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.5344 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 12/30 = 0.4 A
IX = V/XC = 12/33.86 = 0.3544 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(0.4² + 0.3544²) = 0.5344 A
答案
I = 0.5344 A
10.交流阻抗和相量
答案: VL = 37.69 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.22·10⁻⁶) = 30151 rad/s
I = V/R = 5/20 = 0.25 A
电感两端的电压
XL = ω₀L = 30151·0.005 = 150.8 Ω
VL = I·XL = 0.25·150.8 = 37.69 V
答案
VL = 37.69 V
这是电源电压的 Q = 7.538 倍。
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