物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++4 µC−−1 µCr = 40 cm

两个相同的金属小球分别带有 +4 µC 和 −1 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 40 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +4 µCq2 = −1 µCr = 40 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
L = 40 cm5°qq

两个质量均为 5 g 的相同小球用长 40 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 5° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 40 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩIR2​AR4​5 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​30 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 ΩR5 = 10 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 47 ΩL33 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 9 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
W = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 1 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。 求 t = 10 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR = 1 kΩC = 10 µFvC(0) = 24 Vt = 10 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
+v = 1.5 × 10⁶ m/sB = 0.4 T

一个质子在 0.4 T 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 0.4 T
T = ns
8.磁场与电磁感应困难
L = 80 mH0.5 → 5.5 A

一个 80 mH 的电感中，电流在 20 ms 内从 0.5 A 均匀变化到 5.5 A。求自感电动势的大小 ε。

L = 80 mH0.5 A → 5.5 AΔt = 20 ms
ε = V
9.交流阻抗和相量中等
10 V60 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 100 µF

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 100 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
230 V60 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 100 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 100 µF
VC = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 0.1264 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (4 + −1)/2 = 1.5 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(1.5 × 10⁻⁶)²/0.4² = 0.1264 N

答案

F = 0.1264 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: q = 48.17 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 5° = 0.004291 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·0.4·sin 5° = 0.06972 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.06972·√(0.004291/8.99 × 10⁹) = 4.817 × 10⁻⁸ C = 48.17 nC

答案

q = 48.17 nC
3.串并联电阻

答案: IR2 = 0.3305 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 20·13/(20+13) = 7.879 Ω
Req = R1 + 7.879 = 10 + 7.879 = 17.88 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/17.88 = 0.839 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.839·10 = 6.61 V
IR2 = VA/R2 = 6.61/20 = 0.3305 A

答案

IR2 = 0.3305 A
4.串并联电阻

答案: Req = 8.818 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 10 + 30 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 4.444 Ω
R3 + 4.444 = 24.44 Ω
R2 ∥ 24.44 = 4.818 Ω
Req = R1 + 4.818 = 4 + 4.818 = 8.818 Ω

答案

Req = 8.818 Ω
5.RC 和 RL 暂态

答案: W = 0.3488 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0.7021 ms
i(∞) = Vs/R = 9/47 = 0.1915 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.1915·(1 − e−1/0.7021) = 0.1454 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·33·0.1454² = 0.3488 mJ

答案

W = 0.3488 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 21.47 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms
vC(t) = 20 + (24 − 20)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(10) = 20 + (4)·e−10/10 = 21.47 V

答案

vC = 21.47 V
7.磁场与电磁感应

答案: T = 164 ns

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

圆周运动的周期

更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1.673 × 10⁻²⁷/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.4) = 164 ns

答案

T = 164 ns

不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 20 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

自感电动势

电动势阻碍电流的变化（楞次定律），所以它的符号与 ΔI 相反；大小为 L·|ΔI|/Δt。

ε = L·ΔI/Δt = 0.08·5/0.02 = 20 V

答案

ε = 20 V
9.交流阻抗和相量

答案: φ = 16.71 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (30.02)²) = 104.4 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(30.02/100) = 16.71°

答案

φ = 16.71°
10.交流阻抗和相量

答案: VC = 192.8 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (30.02)²) = 31.64 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/31.64 = 7.268 A

电容电压

VC = I·XC = 7.268·26.53 = 192.8 V

答案

VC = 192.8 V

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