库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +1 µC 的电荷与一个 −10 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 10 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +1 µCq2 = −10 µCr1 = 10 cmr2 = 10 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 2 g 的相同小球用长 20 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 5° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 2 gL = 20 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 12 VR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 2 ΩR5 = 25 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。
Vs = 24 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 求 t = 30 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 10 VR = 2.2 kΩC = 33 µFvC(0) = 30 Vt = 30 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
两根相距 15 cm 的长平行导线通有同方向的 8 A 和 10 A 电流。求它们之间每米长度所受的力 F/L。
I1 = 8 AI2 = 10 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁场与电磁感应困难
在速度选择器中，正交的电场 E = 8 × 10⁴ V/m 和磁场 B = 0.1 T 只允许一种速率的离子直线通过。求该速率 v。
E = 8 × 10⁴ V/mB1 = 0.1 T
v = m/s
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。
V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF
P = W
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 2.2 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 9.889 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·1 × 10⁻⁶/0.1² = 899000 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.1² = 8.99 × 10⁶ N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |899000 + 8.99 × 10⁶| = 9.889 × 10⁶ N/C
答案
E = 9.889 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 15.23 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 5° = 0.001717 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 5° = 0.03486 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.03486·√(0.001717/8.99 × 10⁹) = 1.523 × 10⁻⁸ C = 15.23 nC
答案
q = 15.23 nC
3.串并联电阻
答案: IR1 = 3.478 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 6 + 3 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 15·9/(15+9) = 5.625 Ω
Req = R1 + 5.625 = 3 + 5.625 = 8.625 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 30/8.625 = 3.478 A
答案
IR1 = 3.478 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.1379 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 25 + 12 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 1.897 Ω
R3 + 1.897 = 4.897 Ω
R2 ∥ 4.897 = 3.038 Ω
Req = R1 + 3.038 = 30 + 3.038 = 33.04 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 12/33.04 = 0.3632 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.3632·30 = 1.103 V
IR2 = VA/R2 = 1.103/8 = 0.1379 A
答案
IR2 = 0.1379 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 1.517 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 24/10 = 2.4 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 2.4·(1 − e−1/1) = 1.517 A
答案
i = 1.517 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 23.23 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms
vC(t) = 10 + (30 − 10)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(30) = 10 + (20)·e−30/72.6 = 23.23 V
答案
vC = 23.23 V
7.磁场与电磁感应
答案: F/L = 106.7 µN/m
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
每米长度所受的力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·8·10/0.15 = 106.7 µN/m
答案
F/L = 106.7 µN/m
同方向的电流相互吸引。
8.磁场与电磁感应
答案: v = 800000 m/s
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 8 × 10⁴/0.1 = 800000 m/s
答案
v = 800000 m/s
9.交流阻抗和相量
答案: P = 51.35 W
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = 188.5 Ω, XC = 361.7 Ω
阻抗
|Z| = √(30² + (−173.2)²) = 175.8 Ω
有功功率
电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。
I = 230/175.8 = 1.308 A
P = I²·R = 1.308²·30 = 51.35 W
答案
P = 51.35 W
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 15.27 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·2.2·10⁻⁶) = 723.4 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−566.4)²) = 568.6 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 12/568.6 = 0.02111 A
电容电压
VC = I·XC = 0.02111·723.4 = 15.27 V
答案
VC = 15.27 V
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