物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +4 µC 的电荷与一个 −6 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +4 µCq₂ = −6 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

两个质量均为 8 g 的相同小球用长 100 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 15° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 100 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 300 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 15 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 10 kΩC = 100 µFt = 300 ms

v_C = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 200 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 10 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 22 µFt = 200 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个 α 粒子以 8 × 10⁵ m/s 的速度垂直于 0.1 T 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁵ m/sB = 0.1 T

r = cm

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 200 匝，长度为 50 cm，直径为 2.5 cm。当它通有 3 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 200l = 50 cm⌀ = 2.5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 1 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 1 V (rms)R = 2 ΩL = 5 mHC = 4.7 µF

V_L = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 1.093 × 10⁷ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.12² = 2.497 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.08² = 8.428 × 10⁶ N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |2.497 × 10⁶ + 8.428 × 10⁶| = 1.093 × 10⁷ N/C

答案

E = 1.093 × 10⁷ N/C

2.库仑定律与电场

答案: q = 791.7 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 15° = 0.02103 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 15° = 0.5176 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.5176·√(0.02103/8.99 × 10⁹) = 7.917 × 10⁻⁷ C = 791.7 nC

答案

q = 791.7 nC

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.556 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 4 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 3·7/(3+7) = 2.1 Ω

R_eq = R₁ + 2.1 = 6 + 2.1 = 8.1 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/8.1 = 2.222 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2.222·6 = 4.667 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.667/3 = 1.556 A

答案

I_R2 = 1.556 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 22.39 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 8 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 2.571 Ω

R₃ + 2.571 = 4.571 Ω

R₂ ∥ 4.571 = 2.388 Ω

R_eq = R₁ + 2.388 = 20 + 2.388 = 22.39 Ω

答案

R_eq = 22.39 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 4.674 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·10/(6.8 + 10) = 4.048 kΩ

v_C(∞) = 15·10/(6.8 + 10) = 8.929 V

时间常数

τ = R_th·C = 4.048·100 = 404.8 ms

充电曲线

v_C(t) = 8.929·(1 − e^−300/404.8) = 4.674 V

答案

v_C = 4.674 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 1.985 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 10·6.8/(2.2 + 6.8) = 7.556 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 6.8·22 = 149.6 ms

放电

v_C(t) = 7.556·e^−200/149.6 = 1.985 V

答案

v_C = 1.985 V

7.磁场与电磁感应

答案: r = 16.59 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 6.645 × 10⁻²⁷·8 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.1) = 0.1659 m = 16.59 cm

答案

r = 16.59 cm

8.磁场与电磁感应

答案: W = 222.1 µJ

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

自感

L = μ₀N²A/l = 49.35 µH

储存的能量

W = ½LI² = ½·4.935 × 10⁻⁵·3² = 0.0002221 J = 222.1 µJ

答案

W = 222.1 µJ

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.04014 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (241.8)²) = 249.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/249.1 = 0.04014 A

答案

I = 0.04014 A

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 16.31 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·4.7·10⁻⁶) = 6523 rad/s

I = V/R = 1/2 = 0.5 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 6523·0.005 = 32.62 Ω

V_L = I·X_L = 0.5·32.62 = 16.31 V

答案

V_L = 16.31 V

这是电源电压的 Q = 16.31 倍。

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