物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

两个相同的金属小球分别带有 +4 µC 和 +10 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 40 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = +10 µCr = 40 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 2 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 8 cm，q₂ = 8 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 4 µCq₂ = 8 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 24 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 25 ms 时的电感电流 i。

V_s = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩL = 150 mHt = 25 ms

i = A

7.磁场与电磁感应中等

一个质子在 0.4 T 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 0.4 T

T = ns

8.磁场与电磁感应困难

一个氘核从静止开始，经电势差 10000 V 加速后，垂直进入 0.4 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。

m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0.4 T

r = cm

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电路的功率因数 cos φ。

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 100 µF

cos φ =

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 47 µF

I = A

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 2.753 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (4 + 10)/2 = 7 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(7 × 10⁻⁶)²/0.4² = 2.753 N

答案

F = 2.753 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: F = 18.25 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·4·2 × 10⁻¹²/0.08² = 11.24 N

F₂ = k·8·2 × 10⁻¹²/0.1² = 14.38 N

矢量和

F = √(11.24² + 14.38²) = 18.25 N

答案

F = 18.25 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.102 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 15 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 10·23/(10+23) = 6.97 Ω

R_eq = R₁ + 6.97 = 12 + 6.97 = 18.97 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/18.97 = 1.581 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.581·12 = 11.02 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.02/10 = 1.102 A

答案

I_R2 = 1.102 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 3.247 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 10 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 6.154 Ω

R₃ + 6.154 = 36.15 Ω

R₂ ∥ 36.15 = 4.393 Ω

R_eq = R₁ + 4.393 = 3 + 4.393 = 7.393 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/7.393 = 3.247 A

答案

I_R1 = 3.247 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2548 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms

i(∞) = V_s/R = 24/47 = 0.5106 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.5106·(1 − e^−1/1.447) = 0.2548 A

答案

i = 0.2548 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.534 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 24/(15 + 15) = 0.8 A

i(∞) = 24/15 = 1.6 A

τ = L/R = 150/15 = 10 ms

i(t) = 1.6 + (0.8 − 1.6)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(25) = 1.6 + (−0.8)·e^−25/10 = 1.534 A

答案

i = 1.534 A

7.磁场与电磁感应

答案: T = 164 ns

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

圆周运动的周期

更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1.673 × 10⁻²⁷/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.4) = 164 ns

答案

T = 164 ns

不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。

8.磁场与电磁感应

答案: r = 5.108 cm

加速后的速率

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·10000/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 978843 m/s

磁场中的半径

r = mv/(|q|B) = 0.05108 m = 5.108 cm

答案

r = 5.108 cm

合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。

9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.5544

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 56.55 Ω, X_C = 26.53 Ω

阻抗

|Z| = √(20² + (30.02)²) = 36.07 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 20/36.07 = 0.5544

电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.5544

10.交流阻抗和相量

答案: I = 0.05807 A

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (171.6)²) = 172.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/172.2 = 0.05807 A

答案

I = 0.05807 A

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