物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +3 µC 的电荷与一个 −3 µC 的电荷相距 60 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 24 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 10 µC 沿一条直角边距它 8 cm，q₂ = 4 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 10 µCq₂ = 4 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 1 AR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 250 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 30 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 10 kΩC = 47 µFt = 250 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一根长 25 cm 的金属杆以 2 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.25 T 均匀磁场中。导轨之间接有 10 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求电阻上消耗的功率 P。

B = 0.25 TL = 25 cmv = 2 m/sR = 10 Ω

P = mW

8.磁场与电磁感应困难

一个 50 匝、15 cm × 20 cm 的线圈在 0.4 T 的均匀磁场中绕垂直于磁场的轴转动。它必须以多大的转速 n（单位：转/分）转动，才能产生 66.64 V 的有效值电动势？

N = 50A = 15 cm × 20 cmB = 0.4 TE_rms = 66.64 V

n = rpm

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电路的功率因数 cos φ。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF

cos φ =

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 676331 N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.24² = 468229 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0.36² = 208102 N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |468229 + 208102| = 676331 N/C

答案

E = 676331 N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 43.5 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·10·3 × 10⁻¹²/0.08² = 42.14 N

F₂ = k·4·3 × 10⁻¹²/0.1² = 10.79 N

矢量和

F = √(42.14² + 10.79²) = 43.5 N

答案

F = 43.5 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 4.714 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω

R_eq = R₁ + 1.714 = 3 + 1.714 = 4.714 Ω

答案

R_eq = 4.714 Ω

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.8702 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 6 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 5.143 Ω

R₃ + 5.143 = 8.143 Ω

R₂ ∥ 8.143 = 5.278 Ω

R_eq = R₁ + 5.278 = 2 + 5.278 = 7.278 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/7.278 = 2.473 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2.473·2 = 13.05 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13.05/15 = 0.8702 A

答案

I_R2 = 0.8702 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 11.91 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0.47 ms

电流的衰减

i(t) = 1·e^−1/0.47 = 0.1191 A

v_R = R·i = 100·0.1191 = 11.91 V

答案

v_R = 11.91 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 10.49 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 30·10/(6.8 + 10) = 17.86 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 10·47 = 470 ms

放电

v_C(t) = 17.86·e^−250/470 = 10.49 V

答案

v_C = 10.49 V

7.磁场与电磁感应

答案: P = 1.563 mW

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.25·0.25·2 = 0.125 V

电流

I = ε/R = 0.125/10 = 0.0125 A

功率

P = εI = 0.125·0.0125 = 0.001563 W

答案

P = 1.563 mW

8.磁场与电磁感应

答案: n = 1500 rpm

峰值电动势

E₀ = √2·E_rms = 94.24 V

角速度

ω = E₀/(NBA) = 94.24/(50·0.4·0.03) = 157.1 rad/s

每分钟转数

n = 60·157.1/(2π) = 1500 rpm

答案

n = 1500 rpm

9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.1945

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 471.2 Ω, X_C = 67.73 Ω

阻抗

|Z| = √(80² + (403.5)²) = 411.4 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 80/411.4 = 0.1945

电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.1945

10.交流阻抗和相量

答案: I = 1.298 A

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (48.36)²) = 77.06 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/77.06 = 1.298 A

答案

I = 1.298 A

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