库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +5 µC 的电荷与一个 −4 µC 的电荷相距 30 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 15 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +5 µCq2 = −4 µCr1 = 15 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 10 g 的相同小球用长 50 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 12° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 10 gL = 50 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 36 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 30 ΩR5 = 20 ΩR6 = 4 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 150 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 10 VR1 = 10 kΩR2 = 2.2 kΩC = 100 µFt = 150 ms
vC = V
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 17.5 V？求 t。
Vs = 20 VR = 6.8 kΩC = 33 µFvC(0) = 15 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
两根相距 5 cm 的长平行导线通有同方向的 25 A 和 12 A 电流。求位于它们正中间的 P 点处磁感应强度的大小 B。
I1 = 25 AI2 = 12 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁场与电磁感应困难
一个质子不发生偏转地通过正交电场 E = 4 × 10⁴ V/m 和磁场 B₁ = 0.5 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 1 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。
E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0.5 TB2 = 1 Tm = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个 C = 4.7 µF 的 RLC 串联电路必须在 50 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。
f0 = 50 HzC = 4.7 µF
L = mH
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 50 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 50 V (rms)f = 200 HzR1 = 40 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 3.596 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.15² = 1.998 × 10⁶ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.15² = 1.598 × 10⁶ N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |1.998 × 10⁶ + 1.598 × 10⁶| = 3.596 × 10⁶ N/C
答案
E = 3.596 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 316.6 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 12° = 0.02085 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.5·sin 12° = 0.2079 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.2079·√(0.02085/8.99 × 10⁹) = 3.166 × 10⁻⁷ C = 316.6 nC
答案
q = 316.6 nC
3.串并联电阻
答案: Req = 21.24 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 12·13/(12+13) = 6.24 Ω
Req = R1 + 6.24 = 15 + 6.24 = 21.24 Ω
答案
Req = 21.24 Ω
4.串并联电阻
答案: IR2 = 1.318 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 20 + 4 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 13.33 Ω
R3 + 13.33 = 43.33 Ω
R2 ∥ 43.33 = 13.68 Ω
Req = R1 + 13.68 = 5 + 13.68 = 18.68 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 36/18.68 = 1.927 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1.927·5 = 26.37 V
IR2 = VA/R2 = 26.37/20 = 1.318 A
答案
IR2 = 1.318 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 1.018 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容看到的戴维南等效电路
把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。
Rth = R1 ∥ R2 = 10·2.2/(10 + 2.2) = 1.803 kΩ
vC(∞) = 10·2.2/(10 + 2.2) = 1.803 V
时间常数
τ = Rth·C = 1.803·100 = 180.3 ms
充电曲线
vC(t) = 1.803·(1 − e−150/180.3) = 1.018 V
答案
vC = 1.018 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 155.5 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 33 µF = 224.4 ms
vC(t) = 20 + (15 − 20)·e−t/τ
求解时间
17.5 = 20 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (17.5 − 20)/(15 − 20) = 0.5
t = τ·ln((15 − 20)/(17.5 − 20)) = 224.4·ln(2) = 155.5 ms
答案
t = 155.5 ms
7.磁场与电磁感应
答案: B = 104 µT
电流的磁场：在长直导线周围，磁感线是圆（右手螺旋定则），B = μ₀I/(2πr)。在 N 匝平面圆形线圈的中心，B = μ₀NI/(2R)。在长螺线管内部，磁场是均匀的，B = μ₀nI，其中 n = N/L 是每米匝数，与半径无关。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。使用国际单位制（米和安培），并把多个来源的磁场按矢量相加。
每根导线在 P 点的磁场
B1 = 2 × 10⁻⁷·25/0.025 = 200 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·12/0.025 = 96 µT
合并
B = |B₁ − B₂| = 104 µT
答案
B = 104 µT
8.磁场与电磁感应
答案: r = 0.08355 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 4 × 10⁴/0.5 = 80000 m/s
第二个磁场中的半径
r = mv/(|q|B2) = 0.0008355 m = 0.08355 cm
答案
r = 0.08355 cm
9.交流阻抗和相量
答案: L = 2156 mH
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振条件
谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·50 = 314.2 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314.2²·4.7·10⁻⁶) = 2156 mH
答案
L = 2156 mH
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.807 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 15.99 − j26.53 Ω
总阻抗
Z = 40 + 15.99 − j26.53 = 55.99 − j26.53 Ω
|Z| = √(55.99² + 26.53²) = 61.96 Ω
电流
I = V/|Z| = 50/61.96 = 0.807 A
答案
I = 0.807 A
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