物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +2 µC 的电荷与一个 +5 µC 的电荷相距 10 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 2.5 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +2 µCq₂ = +5 µCr₁ = 2.5 cmr₂ = 7.5 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 2 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 2 µCq₂ = 6 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。求 t = 200 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 12 Vt = 200 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一根长 100 cm 的金属杆以 2.5 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.5 T 均匀磁场中。导轨之间接有 2.5 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求使杆保持匀速运动所需的力 F（无摩擦）。

B = 0.5 TL = 100 cmv = 2.5 m/sR = 2.5 Ω

F = mN

8.磁场与电磁感应困难

一个 α 粒子不发生偏转地通过正交电场 E = 4 × 10⁴ V/m 和磁场 B₁ = 0.4 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 0.8 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0.4 TB₂ = 0.8 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.交流阻抗和相量中等

一个 C = 0.1 µF 的 RLC 串联电路必须在 100 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f₀ = 100 HzC = 0.1 µF

L = mH

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 2.078 × 10⁷ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.025² = 2.877 × 10⁷ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0.075² = 7.991 × 10⁶ N/C

方向与合成

两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。

E = |2.877 × 10⁷ − 7.991 × 10⁶| = 2.078 × 10⁷ N/C

答案

E = 2.078 × 10⁷ N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 8.618 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.1² = 1.798 N

F₂ = k·6·1 × 10⁻¹²/0.08² = 8.428 N

矢量和

F = √(1.798² + 8.428²) = 8.618 N

答案

F = 8.618 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.3964 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 12 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 10·17/(10+17) = 6.296 Ω

R_eq = R₁ + 6.296 = 8 + 6.296 = 14.3 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/14.3 = 0.6295 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.6295·8 = 3.964 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.964/10 = 0.3964 A

答案

I_R2 = 0.3964 A

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.06205 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 25 + 3 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 4.242 Ω

R₃ + 4.242 = 9.242 Ω

R₂ ∥ 9.242 = 5.719 Ω

R_eq = R₁ + 5.719 = 25 + 5.719 = 30.72 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/30.72 = 0.1628 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0.1628·25 = 0.9308 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0.9308/15 = 0.06205 A

答案

I_R2 = 0.06205 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 0.5152 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0.44 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0.1 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/0.44 = 0.5152 V

答案

v_L = 0.5152 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 9.406 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 9 + (12 − 9)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(200) = 9 + (3)·e^−200/100 = 9.406 V

答案

v_C = 9.406 V

7.磁场与电磁感应

答案: F = 250 mN

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.5·1·2.5 = 1.25 V

电流

I = ε/R = 1.25/2.5 = 0.5 A

制动力

楞次定律：感应电流所受的力阻碍运动。

F = BIL = 0.5·0.5·1 = 0.25 N

答案

F = 250 mN

8.磁场与电磁感应

答案: r = 0.2592 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

选出的速率

不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0.4 = 100000 m/s

第二个磁场中的半径

r = mv/(|q|B₂) = 0.002592 m = 0.2592 cm

答案

r = 0.2592 cm

9.交流阻抗和相量

答案: L = 25330 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628.3²·0.1·10⁻⁶) = 25330 mH

答案

L = 25330 mH

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 112.5 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·100·10⁻⁶)) = 112.5 Hz

答案

f₀ = 112.5 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism