物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++1 µC++5 µCE = 020 cm

+1 µC 和 +5 µC 的两个电荷相距 20 cm。在两者之间的连线上，距 +1 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q1 = +1 µCq2 = +5 µCd = 20 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
3 cm10 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +2 µC

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 2 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q1 = 4 µCq2 = 2 µCq3 = 1 µCr13 = 3 cmr23 = 10 cm
F = N
3.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩIR2​AR4​12 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​8 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 ΩR5 = 20 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 33 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 15 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 1 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 22 V？求 t。

Vs = 20 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 24 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
nBA = 10 cm², N = 500B = 0.1 T

一个 500 匝线圈的面积为 10 cm²。线圈位于垂直于其平面的 0.1 T 均匀磁场中，该磁场在 10 ms 内被关断。 求平均感应电动势 ε。

N = 500A = 10 cm²B = 0.1 TΔt = 10 ms
ε = V
8.磁场与电磁感应困难
Bn = 3600 rpm8 cm × 15 cmN = 200B = 0.05 T

一个 200 匝、8 cm × 15 cm 的线圈在 0.05 T 的均匀磁场中，以 3600 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。

N = 200A = 8 cm × 15 cmB = 0.05 Tn = 3600 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
12 V500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 10 µF

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
12 Vf0​R = 5 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 12 V (rms)R = 5 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
VL = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 6.18 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

1/x² = 5/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(5/1) = 2.236

位置

x = 20/(1 + 2.236) = 6.18 cm

答案

x = 6.18 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 40 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F1 = k·4·1 × 10⁻¹²/0.03² = 39.96 N
F2 = k·2·1 × 10⁻¹²/0.1² = 1.798 N

矢量和

F = √(39.96² + 1.798²) = 40 N

答案

F = 40 N
3.串并联电阻

答案: IR2 = 0.802 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 12 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 10·18/(10+18) = 6.429 Ω
Req = R1 + 6.429 = 8 + 6.429 = 14.43 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/14.43 = 1.248 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.248·8 = 8.02 V
IR2 = VA/R2 = 8.02/10 = 0.802 A

答案

IR2 = 0.802 A
4.串并联电阻

答案: Req = 10.22 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​8 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 8 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 4.242 Ω
R3 + 4.242 = 12.24 Ω
R2 ∥ 12.24 = 8.218 Ω
Req = R1 + 8.218 = 2 + 8.218 = 10.22 Ω

答案

Req = 10.22 Ω
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4378 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms
i(∞) = Vs/R = 15/33 = 0.4545 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.4545·(1 − e−1/0.303) = 0.4378 A

答案

i = 0.4378 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 152.5 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms
vC(t) = 20 + (24 − 20)·e−t/τ

求解时间

22 = 20 + (4)·e−t/τ → e−t/τ = (22 − 20)/(24 − 20) = 0.5
t = τ·ln((24 − 20)/(22 − 20)) = 220·ln(2) = 152.5 ms

答案

t = 152.5 ms
7.磁场与电磁感应

答案: ε = 5 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 0.1·0.001 = 0.0001 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.0001/0.01 = 5 V

答案

ε = 5 V
8.磁场与电磁感应

答案: Erms = 31.99 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

角速度与面积

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0.012 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 200·0.05·0.012·377 = 45.24 V

有效值

Erms = 45.24/√2 = 31.99 V

答案

Erms = 31.99 V
9.交流阻抗和相量

答案: φ = 76.53 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (125.2)²) = 128.8 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(125.2/30) = 76.53°

答案

φ = 76.53°
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 495.1 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·4.7·10⁻⁶) = 1031 rad/s
I = V/R = 12/5 = 2.4 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 1031·0.2 = 206.3 Ω
VL = I·XL = 2.4·206.3 = 495.1 V

答案

VL = 495.1 V

这是电源电压的 Q = 41.26 倍。

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