库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +4 µC 的电荷与一个 +10 µC 的电荷相距 50 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12.5 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +4 µCq2 = +10 µCr1 = 12.5 cmr2 = 37.5 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
+8 µC 和 +8 µC 的两个电荷相距 16 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 12 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +8 µCq2 = +8 µCd = 16 cmh = 12 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 ΩR5 = 3 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 2 ms 时 R 两端的电压 vR。
i(0) = 1.5 AR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms
vR = V
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 求 t = 150 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 12 VR = 2.2 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 Vt = 150 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一个 α 粒子以 6 × 10⁵ m/s 的速度垂直进入均匀磁场，沿半径 4.978 cm 的圆运动。求磁感应强度 B。
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁵ m/sr = 4.978 cm
B = T
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 400 匝，长度为 25 cm，直径为 2 cm。当它通有 2.5 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。
N = 400l = 25 cm⌀ = 2 cmI = 2.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 100 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 1.662 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.125² = 2.301 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.375² = 639289 N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |2.301 × 10⁶ − 639289| = 1.662 × 10⁶ N/C
答案
E = 1.662 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: E = 5.754 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(8² + 12²) = 14.42 cm
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.1442² = 3.458 × 10⁶ N/C
分量
沿两电荷连线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(h/r) = 2·3.458 × 10⁶·0.8321 = 5.754 × 10⁶ N/C
答案
E = 5.754 × 10⁶ N/C
电场沿中垂线方向，背离两个电荷。
3.串并联电阻
答案: Req = 13.45 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 8 + 2 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω
Req = R1 + 5.455 = 8 + 5.455 = 13.45 Ω
答案
Req = 13.45 Ω
4.串并联电阻
答案: IR2 = 1.165 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 3 + 6 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 3.214 Ω
R3 + 3.214 = 5.214 Ω
R2 ∥ 5.214 = 1.904 Ω
Req = R1 + 1.904 = 3 + 1.904 = 4.904 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 9/4.904 = 1.835 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1.835·3 = 3.495 V
IR2 = VA/R2 = 3.495/3 = 1.165 A
答案
IR2 = 1.165 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: vR = 8.927 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1.65 ms
电流的衰减
i(t) = 1.5·e−2/1.65 = 0.4463 A
vR = R·i = 20·0.4463 = 8.927 V
答案
vR = 8.927 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 10.99 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms
vC(t) = 12 + (4 − 12)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(150) = 12 + (−8)·e−150/72.6 = 10.99 V
答案
vC = 10.99 V
7.磁场与电磁感应
答案: B = 0.25 T
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
由半径求磁场
B = mv/(|q|r) = 6.645 × 10⁻²⁷·6 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.04978) = 0.25 T
答案
B = 0.25 T
8.磁场与电磁感应
答案: W = 789.6 µJ
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
自感
L = μ₀N²A/l = 252.7 µH
储存的能量
W = ½LI² = ½·0.0002527·2.5² = 0.0007896 J = 789.6 µJ
答案
W = 789.6 µJ
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.4039 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (560.6)²) = 569.4 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 230/569.4 = 0.4039 A
答案
I = 0.4039 A
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 0.1213 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3.183 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (311)²) = 315 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 12/315 = 0.0381 A
电容电压
VC = I·XC = 0.0381·3.183 = 0.1213 V
答案
VC = 0.1213 V
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