物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
−−5 µC++3 µCr = 20 cm

两个相同的金属小球分别带有 −5 µC 和 +3 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 20 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −5 µCq2 = +3 µCr = 20 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
L = 100 cm5°qq

两个质量均为 5 g 的相同小球用长 100 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 5° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 100 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 4 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​2 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 36 VR1 = 20 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 ΩR5 = 12 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 22 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 6 VR = 22 ΩL = 100 mH
W(∞) = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 Vt = 0R = 4.7 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。 求 t = 80 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 6 VR = 4.7 kΩC = 10 µFvC(0) = 8 Vt = 80 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
+v = 1 × 10⁶ m/sB = 0.4 T

一个 α 粒子在 0.4 T 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CB = 0.4 T
T = ns
8.磁场与电磁感应困难
L1​ = 20 mH10 A/sL2​ = 200 mHk = 0.4ε = ?

两个自感分别为 20 mH 和 200 mH 的线圈，耦合系数为 0.4。第一个线圈中的电流以 10 A/s 变化。求第二个线圈中感应出的电动势 ε。

L1 = 20 mHL2 = 200 mHk = 0.4di/dt = 10 A/s
ε = V
9.交流阻抗和相量中等
10 V1000 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µFI

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
24 Vf0​R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.47 µF

一个 RLC 串联电路由 24 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 24 V (rms)R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.47 µF
VL = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 0.2247 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (−5 + 3)/2 = −1 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0.2² = 0.2247 N

答案

F = 0.2247 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: q = 120.4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 5° = 0.004291 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 5° = 0.1743 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1743·√(0.004291/8.99 × 10⁹) = 1.204 × 10⁻⁷ C = 120.4 nC

答案

q = 120.4 nC
3.串并联电阻

答案: IR1 = 0.8882 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 8 + 8 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8.889 Ω
Req = R1 + 8.889 = 8 + 8.889 = 16.89 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/16.89 = 0.8882 A

答案

IR1 = 0.8882 A
4.串并联电阻

答案: IR1 = 1.628 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​2 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 12 + 2 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 3.111 Ω
R3 + 3.111 = 7.111 Ω
R2 ∥ 7.111 = 2.11 Ω
Req = R1 + 2.11 = 20 + 2.11 = 22.11 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 36/22.11 = 1.628 A

答案

IR1 = 1.628 A
5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 3.719 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4.545 ms
i(∞) = Vs/R = 6/22 = 0.2727 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0.2727² = 3.719 mJ

答案

W(∞) = 3.719 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 6.365 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 10 µF = 47 ms
vC(t) = 6 + (8 − 6)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(80) = 6 + (2)·e−80/47 = 6.365 V

答案

vC = 6.365 V
7.磁场与电磁感应

答案: T = 325.8 ns

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

圆周运动的周期

更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6.645 × 10⁻²⁷/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.4) = 325.8 ns

答案

T = 325.8 ns

不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 0.253 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

互感

M = 0.4·√(20·200) = 25.3 mH

感应电动势

ε = M·di/dt = 0.0253·10 = 0.253 V

答案

ε = 0.253 V
9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.07671 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1.592 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (124.1)²) = 130.4 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/130.4 = 0.07671 A

答案

I = 0.07671 A
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 495.1 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.47·10⁻⁶) = 20628 rad/s
I = V/R = 24/5 = 4.8 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 20628·0.005 = 103.1 Ω
VL = I·XL = 4.8·103.1 = 495.1 V

答案

VL = 495.1 V

这是电源电压的 Q = 20.63 倍。

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