物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 −4 µC，右边相距 40 cm 处为 +10 µC，两者之间距左边电荷 20 cm 处为 +8 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −4 µCq_R = +10 µCq_M = +8 µCr_L = 20 cmr_R = 20 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 2 µC 沿一条直角边距它 8 cm，q₂ = 5 µC 沿另一条直角边距它 4 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 2 µCq₂ = 5 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 20 ms 时的电流 i。

V_s = 5 VR = 10 ΩL = 68 mHt = 20 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

V_s = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.磁场与电磁感应中等

一根长 25 cm 的金属杆以 4 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.2 T 均匀磁场中。求其两端之间的感应电动势 ε。

B = 0.2 TL = 25 cmv = 4 m/s

ε = mV

8.磁场与电磁感应困难

一个 500 匝、15 cm × 15 cm 的线圈在 0.1 T 的均匀磁场中绕垂直于磁场的轴转动。它必须以多大的转速 n（单位：转/分）转动，才能产生 125 V 的有效值电动势？

N = 500A = 15 cm × 15 cmB = 0.1 TE_rms = 125 V

n = rpm

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求电路的功率因数 cos φ。

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 22 µF

cos φ =

10.交流阻抗和相量困难

电阻 R₁ 与 R₂ 和电容 C 的并联组合串联，接在 100 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求阻抗的模 |Z|。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 25.17 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = −k·4·8 × 10⁻¹²/0.2² = −7.192 N

F_R = −k·10·8 × 10⁻¹²/0.2² = −17.98 N

合力

F = −7.192 + (−17.98) = −25.17 N → |F| = 25.17 N

答案

F = 25.17 N

合力向左。

2.库仑定律与电场

答案: F = 84.7 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·2·3 × 10⁻¹²/0.08² = 8.428 N

F₂ = k·5·3 × 10⁻¹²/0.04² = 84.28 N

矢量和

F = √(8.428² + 84.28²) = 84.7 N

答案

F = 84.7 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.4421 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 8 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω

R_eq = R₁ + 8.571 = 5 + 8.571 = 13.57 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/13.57 = 0.4421 A

答案

I_R1 = 0.4421 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 35.4 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 25 + 10 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 14.58 Ω

R₃ + 14.58 = 16.58 Ω

R₂ ∥ 16.58 = 5.397 Ω

R_eq = R₁ + 5.397 = 30 + 5.397 = 35.4 Ω

答案

R_eq = 35.4 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4736 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6.8 ms

i(∞) = V_s/R = 5/10 = 0.5 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.5·(1 − e^−20/6.8) = 0.4736 A

答案

i = 0.4736 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.571 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 24/5 = 4.8 A

i(∞) = 24/(5 + 20) = 0.96 A

τ = L/R = 68/25 = 2.72 ms

i(t) = 0.96 + (4.8 − 0.96)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.96 + (3.84)·e^−5/2.72 = 1.571 A

答案

i = 1.571 A

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 200 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.2·0.25·4 = 0.2 V

答案

ε = 200 mV

8.磁场与电磁感应

答案: n = 1501 rpm

峰值电动势

E₀ = √2·E_rms = 176.8 V

角速度

ω = E₀/(NBA) = 176.8/(500·0.1·0.0225) = 157.1 rad/s

每分钟转数

n = 60·157.1/(2π) = 1501 rpm

答案

n = 1501 rpm

9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.2265

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 15.71 Ω, X_C = 144.7 Ω

阻抗

|Z| = √(30² + (−129)²) = 132.4 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 30/132.4 = 0.2265

电路是容性的，所以功率因数超前。

答案

cos φ = 0.2265

10.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 46.1 Ω

电抗

X_C = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Z_p 分成实部和虚部。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 15.32 − j8.469 Ω

总阻抗

Z = 30 + 15.32 − j8.469 = 45.32 − j8.469 Ω

|Z| = √(45.32² + 8.469²) = 46.1 Ω

答案

|Z| = 46.1 Ω

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