物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +6 µC 的电荷与一个 +6 µC 的电荷相距 50 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12.5 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +6 µCq₂ = +6 µCr₁ = 12.5 cmr₂ = 37.5 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 10 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 10 µC 沿另一条直角边距它 6 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 4 µCq₂ = 10 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。

V_s = 12 VR = 68 ΩL = 22 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。求 t = 150 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 220 µFv_C(0) = 4 Vt = 150 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个 100 匝线圈的面积为 200 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.1 T 均匀磁场中，在 50 ms 内翻转（转过 180°）。求平均感应电动势 ε。

N = 100A = 200 cm²B = 0.1 TΔt = 50 ms

ε = V

8.磁场与电磁感应困难

一个质子从静止开始，经电势差 5000 V 加速后，垂直进入 0.25 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0.25 T

r = cm

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路的 R = 1 Ω，L = 2 mH，C = 1 µF。求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 1 ΩL = 2 mHC = 1 µF

B = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 3.069 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.125² = 3.452 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.375² = 383573 N/C

方向与合成

两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。

E = |3.452 × 10⁶ − 383573| = 3.069 × 10⁶ N/C

答案

E = 3.069 × 10⁶ N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 252.3 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·4·10 × 10⁻¹²/0.1² = 35.96 N

F₂ = k·10·10 × 10⁻¹²/0.06² = 249.7 N

矢量和

F = √(35.96² + 249.7²) = 252.3 N

答案

F = 252.3 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 5.077 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 8·5/(8+5) = 3.077 Ω

R_eq = R₁ + 3.077 = 2 + 3.077 = 5.077 Ω

答案

R_eq = 5.077 Ω

4.串并联电阻

答案: R_eq = 14.27 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 5 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4.8 Ω

R₃ + 4.8 = 16.8 Ω

R₂ ∥ 16.8 = 6.269 Ω

R_eq = R₁ + 6.269 = 8 + 6.269 = 14.27 Ω

答案

R_eq = 14.27 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.9692 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0.3235 ms

i(∞) = V_s/R = 12/68 = 0.1765 A

求解时间

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −0.3235·ln(0.05) = 0.9692 ms

答案

t = 0.9692 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 7.954 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms

v_C(t) = 12 + (4 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(150) = 12 + (−8)·e^−150/220 = 7.954 V

答案

v_C = 7.954 V

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 8 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 2·0.1·0.02 = 0.004 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 100·0.004/0.05 = 8 V

答案

ε = 8 V

8.磁场与电磁感应

答案: r = 4.088 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

加速后的速率

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·5000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 978551 m/s

磁场中的半径

r = mv/(|q|B) = 0.04088 m = 4.088 cm

答案

r = 4.088 cm

合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.4234 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−101.7)²) = 118.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/118.1 = 0.4234 A

答案

I = 0.4234 A

10.交流阻抗和相量

答案: B = 79.58 Hz

谐振频率

f₀ = 1/(2π·√(0.002·1·10⁻⁶)) = 3559 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0.002/(1·10⁻⁶)) = 44.72

带宽

B = f₀/Q = 3559/44.72 = 79.58 Hz

答案

B = 79.58 Hz

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