物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

两个相同的金属小球分别带有 +3 µC 和 +2 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 25 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +2 µCr = 25 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 6 µC 位于直角顶点，q₁ = 8 µC 沿一条直角边距它 8 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 4 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 8 µCq₂ = 6 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 75%？求 t。

V_s = 24 VR = 20 ΩL = 220 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。求 t = 250 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 6 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 30 Vt = 250 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个质子在 0.25 T 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 0.25 T

T = ns

8.磁场与电磁感应困难

在速度选择器中，正交的电场 E = 2 × 10⁵ V/m 和磁场 B = 0.05 T 只允许一种速率的离子直线通过。求该速率 v。

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0.05 T

v = m/s

9.交流阻抗和相量中等

一个 C = 47 µF 的 RLC 串联电路必须在 200 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f₀ = 200 HzC = 47 µF

L = mH

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 0.899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (3 + 2)/2 = 2.5 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(2.5 × 10⁻⁶)²/0.25² = 0.899 N

答案

F = 0.899 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: F = 213.2 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·8·6 × 10⁻¹²/0.08² = 67.42 N

F₂ = k·6·6 × 10⁻¹²/0.04² = 202.3 N

矢量和

F = √(67.42² + 202.3²) = 213.2 N

答案

F = 213.2 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 6.5 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω

R_eq = R₁ + 1.5 = 5 + 1.5 = 6.5 Ω

答案

R_eq = 6.5 Ω

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.095 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 10.7 Ω

R₃ + 10.7 = 20.7 Ω

R₂ ∥ 20.7 = 8.697 Ω

R_eq = R₁ + 8.697 = 5 + 8.697 = 13.7 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/13.7 = 1.095 A

答案

I_R1 = 1.095 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 15.25 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

i(∞) = V_s/R = 24/20 = 1.2 A

求解时间

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −11·ln(0.25) = 15.25 ms

答案

t = 15.25 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 7.97 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 6 + (30 − 6)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(250) = 6 + (24)·e^−250/100 = 7.97 V

答案

v_C = 7.97 V

7.磁场与电磁感应

答案: T = 262.5 ns

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

圆周运动的周期

更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1.673 × 10⁻²⁷/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.25) = 262.5 ns

答案

T = 262.5 ns

不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。

8.磁场与电磁感应

答案: v = 4 × 10⁶ m/s

选出的速率

不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0.05 = 4 × 10⁶ m/s

答案

v = 4 × 10⁶ m/s

9.交流阻抗和相量

答案: L = 13.47 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·47·10⁻⁶) = 13.47 mH

答案

L = 13.47 mH

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 277.1 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·2.2·10⁻⁶)) = 277.1 Hz

答案

f₀ = 277.1 Hz

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