库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +4 µC 的电荷与一个 +6 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 16 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +4 µCq2 = +6 µCr1 = 16 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 3 g 的相同小球用长 40 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 10° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 3 gL = 40 cmθ = 10°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 9 VR1 = 30 ΩR2 = 12 ΩR3 = 10 ΩR4 = 30 ΩR5 = 10 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。
Vs = 24 VR = 47 ΩL = 10 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 14 V？求 t。
Vs = 10 VR = 10 kΩC = 47 µFvC(0) = 30 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
一个电子以 6 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 2.5 mT 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。
m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 2.5 mT
r = cm
8.磁场与电磁感应困难
一个氘核不发生偏转地通过正交电场 E = 1 × 10⁵ V/m 和磁场 B₁ = 0.2 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 0.2 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。
E = 1 × 10⁵ V/mB1 = 0.2 TB2 = 0.2 Tm = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 100 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路的 R = 2 Ω，L = 1 mH，C = 0.022 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。
R = 2 ΩL = 1 mHC = 0.022 µF
B = Hz
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 468229 N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.16² = 1.405 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0.24² = 936458 N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |1.405 × 10⁶ − 936458| = 468229 N/C
答案
E = 468229 N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 105.5 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 10° = 0.005189 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.4·sin 10° = 0.1389 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1389·√(0.005189/8.99 × 10⁹) = 1.055 × 10⁻⁷ C = 105.5 nC
答案
q = 105.5 nC
3.串并联电阻
答案: IR1 = 0.9 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 5 + 10 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 12·15/(12+15) = 6.667 Ω
Req = R1 + 6.667 = 10 + 6.667 = 16.67 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 15/16.67 = 0.9 A
答案
IR1 = 0.9 A
4.串并联电阻
答案: Req = 38.23 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 10 + 25 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 16.15 Ω
R3 + 16.15 = 26.15 Ω
R2 ∥ 26.15 = 8.226 Ω
Req = R1 + 8.226 = 30 + 8.226 = 38.23 Ω
答案
Req = 38.23 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 0.6374 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0.2128 ms
i(∞) = Vs/R = 24/47 = 0.5106 A
求解时间
0.95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)
t = −0.2128·ln(0.05) = 0.6374 ms
答案
t = 0.6374 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 756.4 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms
vC(t) = 10 + (30 − 10)·e−t/τ
求解时间
14 = 10 + (20)·e−t/τ → e−t/τ = (14 − 10)/(30 − 10) = 0.2
t = τ·ln((30 − 10)/(14 − 10)) = 470·ln(5) = 756.4 ms
答案
t = 756.4 ms
7.磁场与电磁感应
答案: r = 1.365 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力的平衡
磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 9.109 × 10⁻³¹·6 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.0025) = 0.01365 m = 1.365 cm
答案
r = 1.365 cm
8.磁场与电磁感应
答案: r = 5.218 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 1 × 10⁵/0.2 = 500000 m/s
第二个磁场中的半径
r = mv/(|q|B2) = 0.05218 m = 5.218 cm
答案
r = 5.218 cm
9.交流阻抗和相量
答案: φ = 54.69 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (141.2)²) = 173 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(141.2/100) = 54.69°
答案
φ = 54.69°
10.交流阻抗和相量
答案: B = 318.3 Hz
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振频率
f0 = 1/(2π·√(0.001·0.022·10⁻⁶)) = 33932 Hz
品质因数
Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.001/(0.022·10⁻⁶)) = 106.6
带宽
B = f0/Q = 33932/106.6 = 318.3 Hz
答案
B = 318.3 Hz
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