库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +10 µC 的电荷与一个 +4 µC 的电荷相距 60 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 45 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +10 µCq2 = +4 µCr1 = 45 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 10 g 的相同小球用长 20 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 15° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 10 gL = 20 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 5 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 ΩR4 = 30 ΩR5 = 4 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。
Vs = 24 VR = 100 ΩL = 33 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 1 ms 时的电感电流 i。
Vs = 9 VR1 = 33 ΩR2 = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
一个圆形回路位于磁场方向为垂直进入纸面的均匀磁场中。磁场强度正在增大。点选图中所见的回路感应电流方向。
B: 垂直进入纸面dB/dt > 0
- 1顺时针
- 2逆时针
8.磁场与电磁感应困难
一个质子从静止开始，经电势差 2500 V 加速后，垂直进入 0.25 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0.25 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 10 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路由 2 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。
V = 2 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 0.22 µF
VL = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 1.154 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.45² = 443951 N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.15² = 1.598 × 10⁶ N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |443951 − 1.598 × 10⁶| = 1.154 × 10⁶ N/C
答案
E = 1.154 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 177 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 15° = 0.02629 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 15° = 0.1035 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1035·√(0.02629/8.99 × 10⁹) = 1.77 × 10⁻⁷ C = 177 nC
答案
q = 177 nC
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.3111 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 15 + 20 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 3·35/(3+35) = 2.763 Ω
Req = R1 + 2.763 = 15 + 2.763 = 17.76 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 6/17.76 = 0.3378 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.3378·15 = 0.9333 V
IR2 = VA/R2 = 0.9333/3 = 0.3111 A
答案
IR2 = 0.3111 A
4.串并联电阻
答案: Req = 3.816 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 4 + 25 = 29 Ω
R4 ∥ 29 = 14.75 Ω
R3 + 14.75 = 19.75 Ω
R2 ∥ 19.75 = 1.816 Ω
Req = R1 + 1.816 = 2 + 1.816 = 3.816 Ω
答案
Req = 3.816 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 0.5311 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0.33 ms
i(∞) = Vs/R = 24/100 = 0.24 A
求解时间
0.8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)
t = −0.33·ln(0.2) = 0.5311 ms
答案
t = 0.5311 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.1167 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。
i(0) = 9/33 = 0.2727 A
i(∞) = 9/(33 + 47) = 0.1125 A
τ = L/R = 22/80 = 0.275 ms
i(t) = 0.1125 + (0.2727 − 0.1125)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(1) = 0.1125 + (0.1602)·e−1/0.275 = 0.1167 A
答案
i = 0.1167 A
7.磁场与电磁感应
答案: 逆时针
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
磁通量的变化
进入纸面的磁通量增大，或穿出纸面的磁通量减小。
感应电流的磁场
感应电流阻碍这一变化。
回路内部的感应磁场：穿出纸面。
电流的方向
右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。
逆时针
答案
逆时针
8.磁场与电磁感应
答案: r = 2.89 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速后的速率
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·2500/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 691940 m/s
磁场中的半径
r = mv/(|q|B) = 0.0289 m = 2.89 cm
答案
r = 2.89 cm
合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.7278 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−312)²) = 316 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 230/316 = 0.7278 A
答案
I = 0.7278 A
10.交流阻抗和相量
答案: VL = 95.35 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·0.22·10⁻⁶) = 9535 rad/s
I = V/R = 2/10 = 0.2 A
电感两端的电压
XL = ω₀L = 9535·0.05 = 476.7 Ω
VL = I·XL = 0.2·476.7 = 95.35 V
答案
VL = 95.35 V
这是电源电压的 Q = 47.67 倍。
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