库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+8 µC 和 +4 µC 的两个电荷相距 30 cm。在两者之间的连线上，距 +8 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +8 µCq2 = +4 µCd = 30 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 3 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 10 cm，板间电场为 800 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 800 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 9 VR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 30 ΩR4 = 25 ΩR5 = 25 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。
Vs = 6 VR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 10.8 V？求 t。
Vs = 12 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 6 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
一根长 80 cm 的金属杆以 5 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.2 T 均匀磁场中。求其两端之间的感应电动势 ε。
B = 0.2 TL = 80 cmv = 5 m/s
ε = mV
8.磁场与电磁感应困难
一个 150 匝、5 cm × 15 cm 的线圈在 0.05 T 的均匀磁场中，以 3000 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E0。
N = 150A = 5 cm × 15 cmB = 0.05 Tn = 3000 rpm
E0 = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 100 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 22 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 17.57 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
8/x² = 4/(30 − x)²
(30 − x)/x = √(4/8) = 0.7071
位置
x = 30/(1 + 0.7071) = 17.57 cm
答案
x = 17.57 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: y = 0.7816 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.1/3 × 10⁷ = 3.333 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·800/9.109 × 10⁻³¹ = 1.407 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·1.407 × 10¹⁴·(3.333 × 10⁻⁹)² = 0.0007816 m = 0.7816 mm
答案
y = 0.7816 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.4608 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 2 + 15 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 6·17/(6+17) = 4.435 Ω
Req = R1 + 4.435 = 10 + 4.435 = 14.43 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 9/14.43 = 0.6235 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.6235·10 = 2.765 V
IR2 = VA/R2 = 2.765/6 = 0.4608 A
答案
IR2 = 0.4608 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.127 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 25 + 30 = 55 Ω
R4 ∥ 55 = 17.19 Ω
R3 + 17.19 = 47.19 Ω
R2 ∥ 47.19 = 18.34 Ω
Req = R1 + 18.34 = 25 + 18.34 = 43.34 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 9/43.34 = 0.2077 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.2077·25 = 3.809 V
IR2 = VA/R2 = 3.809/30 = 0.127 A
答案
IR2 = 0.127 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.101 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms
i(∞) = Vs/R = 6/47 = 0.1277 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.1277·(1 − e−5/3.191) = 0.101 A
答案
i = 0.101 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 35.41 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 12 + (6 − 12)·e−t/τ
求解时间
10.8 = 12 + (−6)·e−t/τ → e−t/τ = (10.8 − 12)/(6 − 12) = 0.2
t = τ·ln((6 − 12)/(10.8 − 12)) = 22·ln(5) = 35.41 ms
答案
t = 35.41 ms
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 800 mV
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
动生电动势
ε = BLv = 0.2·0.8·5 = 0.8 V
答案
ε = 800 mV
8.磁场与电磁感应
答案: E0 = 17.67 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
A = 0.0075 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 150·0.05·0.0075·314.2 = 17.67 V
答案
E0 = 17.67 V
9.交流阻抗和相量
答案: φ = 77.94 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3.183 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (468.1)²) = 478.6 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(468.1/100) = 77.94°
答案
φ = 77.94°
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 118.8 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (53.32)²) = 73.1 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 120/73.1 = 1.642 A
电容电压
VC = I·XC = 1.642·72.34 = 118.8 V
答案
VC = 118.8 V
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