物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

两个相同的金属小球分别带有 −8 µC 和 +10 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 5 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = +10 µCr = 5 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 8 µC 位于直角顶点，q₁ = 8 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 5 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 8 µCq₂ = 5 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 5 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 9 VR = 50 ΩL = 10 mH

W(∞) = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 5.5 V？求 t。

V_s = 6 VR = 2.2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个 500 匝线圈的面积为 10 cm²。线圈位于垂直于其平面的 0.8 T 均匀磁场中，该磁场在 250 ms 内被关断。求平均感应电动势 ε。

N = 500A = 10 cm²B = 0.8 TΔt = 250 ms

ε = V

8.磁场与电磁感应困难

一个 20 匝、5 cm × 10 cm 的线圈在 0.05 T 的均匀磁场中，以 3600 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E₀。

N = 20A = 5 cm × 10 cmB = 0.05 Tn = 3600 rpm

E₀ = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电路的功率因数 cos φ。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 100 µF

cos φ =

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路的 R = 20 Ω，L = 10 mH，C = 10 µF。求其谐振时的品质因数 Q。

R = 20 ΩL = 10 mHC = 10 µF

Q =

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 3.596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (−8 + 10)/2 = 1 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0.05² = 3.596 N

答案

F = 3.596 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: F = 641.8 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·8·8 × 10⁻¹²/0.03² = 639.3 N

F₂ = k·5·8 × 10⁻¹²/0.08² = 56.19 N

矢量和

F = √(639.3² + 56.19²) = 641.8 N

答案

F = 641.8 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5795 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 2 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω

R_eq = R₁ + 3.529 = 12 + 3.529 = 15.53 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/15.53 = 0.5795 A

答案

I_R1 = 0.5795 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.175 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 2 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4 Ω

R₃ + 4 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 8.571 Ω

R_eq = R₁ + 8.571 = 20 + 8.571 = 28.57 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/28.57 = 0.175 A

答案

I_R1 = 0.175 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 0.162 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0.2 ms

i(∞) = V_s/R = 9/50 = 0.18 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0.18² = 0.162 mJ

答案

W(∞) = 0.162 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 152.5 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 6 + (5 − 6)·e^−t/τ

求解时间

5.5 = 6 + (−1)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5.5 − 6)/(5 − 6) = 0.5

t = τ·ln((5 − 6)/(5.5 − 6)) = 220·ln(2) = 152.5 ms

答案

t = 152.5 ms

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 1.6 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 0.8·0.001 = 0.0008 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.0008/0.25 = 1.6 V

答案

ε = 1.6 V

8.磁场与电磁感应

答案: E₀ = 1.885 V

角速度与面积

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0.005 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 20·0.05·0.005·377 = 1.885 V

答案

E₀ = 1.885 V

9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.3061

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 314.2 Ω, X_C = 3.183 Ω

阻抗

|Z| = √(100² + (311)²) = 326.7 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 100/326.7 = 0.3061

电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.3061

10.交流阻抗和相量

答案: Q = 1.581

谐振频率

f₀ = 1/(2π·√(0.01·10·10⁻⁶)) = 503.3 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.01/(10·10⁻⁶)) = 1.581

答案

Q = 1.581

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