库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
两个相同的金属小球分别带有 −6 µC 和 +4 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 5 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −6 µCq2 = +4 µCr = 5 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 3.5 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 10 cm，板间电场为 3000 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 3.5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 3000 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 25 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 ΩR5 = 20 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。
Vs = 6 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
W = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 8.4 V？求 t。
Vs = 10 VR = 3.3 kΩC = 68 µFvC(0) = 6 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
一个 20 匝线圈的面积为 50 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.5 T 均匀磁场中，在 20 ms 内翻转（转过 180°）。 求平均感应电动势 ε。
N = 20A = 50 cm²B = 0.5 TΔt = 20 ms
ε = V
8.磁场与电磁感应困难
一个质子从静止开始，经电势差 500 V 加速后，垂直进入 0.1 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0.1 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。
V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 47 µF
P = W
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。
V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 10 µF
f0 = Hz
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 3.596 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触后的电荷
q′ = (−6 + 4)/2 = −1 µC
新的作用力
F = 8.99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0.05² = 3.596 N
答案
F = 3.596 N
现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。
2.库仑定律与电场
答案: y = 2.154 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.1/3.5 × 10⁷ = 2.857 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3000/9.109 × 10⁻³¹ = 5.276 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·5.276 × 10¹⁴·(2.857 × 10⁻⁹)² = 0.002154 m = 2.154 mm
答案
y = 2.154 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.75 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 8 + 4 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2.4 Ω
Req = R1 + 2.4 = 4 + 2.4 = 6.4 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 6/6.4 = 0.9375 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.9375·4 = 2.25 V
IR2 = VA/R2 = 2.25/3 = 0.75 A
答案
IR2 = 0.75 A
4.串并联电阻
答案: Req = 6.702 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 2.791 Ω
R3 + 2.791 = 5.791 Ω
R2 ∥ 5.791 = 4.702 Ω
Req = R1 + 4.702 = 2 + 4.702 = 6.702 Ω
答案
Req = 6.702 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: W = 0.4828 mJ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0.6667 ms
i(∞) = Vs/R = 6/15 = 0.4 A
给定时刻的电流
i(t) = 0.4·(1 − e−1/0.6667) = 0.3107 A
储存的能量
W = ½·L·i² = ½·10·0.3107² = 0.4828 mJ
答案
W = 0.4828 mJ
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 205.6 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 68 µF = 224.4 ms
vC(t) = 10 + (6 − 10)·e−t/τ
求解时间
8.4 = 10 + (−4)·e−t/τ → e−t/τ = (8.4 − 10)/(6 − 10) = 0.4
t = τ·ln((6 − 10)/(8.4 − 10)) = 224.4·ln(2.5) = 205.6 ms
答案
t = 205.6 ms
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 5 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = 2·0.5·0.005 = 0.005 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 20·0.005/0.02 = 5 V
答案
ε = 5 V
8.磁场与电磁感应
答案: r = 3.232 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速后的速率
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·500/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 309445 m/s
磁场中的半径
r = mv/(|q|B) = 0.03232 m = 3.232 cm
答案
r = 3.232 cm
合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。
9.交流阻抗和相量
答案: P = 332.6 W
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = 47.12 Ω, XC = 67.73 Ω
阻抗
|Z| = √(15² + (−20.6)²) = 25.48 Ω
有功功率
电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。
I = 120/25.48 = 4.709 A
P = I²·R = 4.709²·15 = 332.6 W
答案
P = 332.6 W
10.交流阻抗和相量
答案: f0 = 355.9 Hz
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·10·10⁻⁶)) = 355.9 Hz
答案
f0 = 355.9 Hz
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