库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
三个点电荷位于一条直线上：左边为 −3 µC，右边相距 40 cm 处为 −3 µC，两者之间距左边电荷 30 cm 处为 +5 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = −3 µCqR = −3 µCqM = +5 µCrL = 30 cmrR = 10 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 8 g 的相同小球用长 30 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 15° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 8 gL = 30 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 2 ms 时的电流 i。
i(0) = 2 AR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 求 t = 100 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 15 VR = 2.2 kΩC = 47 µFvC(0) = 20 Vt = 100 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一个 α 粒子以 6 × 10⁵ m/s 的速度垂直进入均匀磁场，沿半径 6.222 cm 的圆运动。求磁感应强度 B。
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁵ m/sr = 6.222 cm
B = T
8.磁场与电磁感应困难
一个质子从静止开始，经电势差 2500 V 加速后，垂直进入 0.5 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0.5 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 10 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。
V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 47 µF
f0 = Hz
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 11.99 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
每个电荷产生的力
向右为正。
FL = −k·3·5 × 10⁻¹²/0.3² = −1.498 N
FR = +k·3·5 × 10⁻¹²/0.1² = 13.48 N
合力
F = −1.498 + (13.48) = 11.99 N → |F| = 11.99 N
答案
F = 11.99 N
合力向右。
2.库仑定律与电场
答案: q = 237.5 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 15° = 0.02103 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.3·sin 15° = 0.1553 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1553·√(0.02103/8.99 × 10⁹) = 2.375 × 10⁻⁷ C = 237.5 nC
答案
q = 237.5 nC
3.串并联电阻
答案: IR1 = 0.6593 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 4 + 12 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 4·16/(4+16) = 3.2 Ω
Req = R1 + 3.2 = 15 + 3.2 = 18.2 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 12/18.2 = 0.6593 A
答案
IR1 = 0.6593 A
4.串并联电阻
答案: Req = 13.85 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 12 + 4 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 7.742 Ω
R3 + 7.742 = 10.74 Ω
R2 ∥ 10.74 = 3.85 Ω
Req = R1 + 3.85 = 10 + 3.85 = 13.85 Ω
答案
Req = 13.85 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.5951 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1.65 ms
电流的衰减
i(t) = 2·e−2/1.65 = 0.5951 A
答案
i = 0.5951 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 16.9 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 47 µF = 103.4 ms
vC(t) = 15 + (20 − 15)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(100) = 15 + (5)·e−100/103.4 = 16.9 V
答案
vC = 16.9 V
7.磁场与电磁感应
答案: B = 0.2 T
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
由半径求磁场
B = mv/(|q|r) = 6.645 × 10⁻²⁷·6 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.06222) = 0.2 T
答案
B = 0.2 T
8.磁场与电磁感应
答案: r = 1.445 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速后的速率
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·2500/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 691940 m/s
磁场中的半径
r = mv/(|q|B) = 0.01445 m = 1.445 cm
答案
r = 1.445 cm
合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.3543 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−127.7)²) = 141.1 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 50/141.1 = 0.3543 A
答案
I = 0.3543 A
10.交流阻抗和相量
答案: f0 = 103.8 Hz
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·47·10⁻⁶)) = 103.8 Hz
答案
f0 = 103.8 Hz
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