物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +4 µC 的电荷与一个 −6 µC 的电荷相距 50 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 25 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +4 µCq₂ = −6 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 8 µC 位于直角顶点，q₁ = 5 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 3 µC 沿另一条直角边距它 4 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 5 µCq₂ = 3 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 120 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 9 VR₁ = 1 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 68 µFt = 120 ms

v_C = V

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.75 A？求 t。

V_s = 20 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩL = 68 mH

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个 25 匝线圈的面积为 100 cm²。线圈位于垂直于其平面的 0.4 T 均匀磁场中，该磁场在 200 ms 内被关断。求平均感应电动势 ε。

N = 25A = 100 cm²B = 0.4 TΔt = 200 ms

ε = mV

8.磁场与电磁感应困难

一个 500 匝、12 cm × 15 cm 的线圈在 0.4 T 的均匀磁场中，以 1800 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 E_rms。

N = 500A = 12 cm × 15 cmB = 0.4 Tn = 1800 rpm

E_rms = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 1.438 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.25² = 575360 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.25² = 863040 N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |575360 + 863040| = 1.438 × 10⁶ N/C

答案

E = 1.438 × 10⁶ N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 139.6 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·5·8 × 10⁻¹²/0.1² = 35.96 N

F₂ = k·3·8 × 10⁻¹²/0.04² = 134.8 N

矢量和

F = √(35.96² + 134.8²) = 139.6 N

答案

F = 139.6 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.1538 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω

R_eq = R₁ + 6.667 = 15 + 6.667 = 21.67 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/21.67 = 0.4615 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.4615·15 = 3.077 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.077/20 = 0.1538 A

答案

I_R2 = 0.1538 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 14.83 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 20 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 13.33 Ω

R₃ + 13.33 = 19.33 Ω

R₂ ∥ 19.33 = 9.831 Ω

R_eq = R₁ + 9.831 = 5 + 9.831 = 14.83 Ω

答案

R_eq = 14.83 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.81 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·6.8/(1 + 6.8) = 0.8718 kΩ

v_C(∞) = 9·6.8/(1 + 6.8) = 7.846 V

时间常数

τ = R_th·C = 0.8718·68 = 59.28 ms

充电曲线

v_C(t) = 7.846·(1 − e^−120/59.28) = 6.81 V

答案

v_C = 6.81 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.178 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 20/20 = 1 A

i(∞) = 20/(20 + 20) = 0.5 A

τ = L/R = 68/40 = 1.7 ms

i(t) = 0.5 + (1 − 0.5)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (0.75 − 0.5)/(1 − 0.5) = 0.5

t = 1.7·ln(2) = 1.178 ms

答案

t = 1.178 ms

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 500 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 0.4·0.01 = 0.004 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 25·0.004/0.2 = 0.5 V

答案

ε = 500 mV

8.磁场与电磁感应

答案: E_rms = 479.8 V

角速度与面积

ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

A = 0.018 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 500·0.4·0.018·188.5 = 678.6 V

有效值

E_rms = 678.6/√2 = 479.8 V

答案

E_rms = 479.8 V

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.1624 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·4.7·10⁻⁶) = 677.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−614.4)²) = 615.7 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/615.7 = 0.1624 A

答案

I = 0.1624 A

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 225.1 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·10·10⁻⁶)) = 225.1 Hz

答案

f₀ = 225.1 Hz

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