库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +4 µC 的电荷与一个 −2 µC 的电荷相距 10 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 5 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +4 µCq2 = −2 µCr1 = 5 cmr2 = 5 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 10 g 的相同小球用长 80 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 20° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 10 gL = 80 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 ΩR5 = 6 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。
Vs = 12 VR = 50 ΩL = 10 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 12 V 时它必须触发，恰好在开始后 1000 ms。 已知 R = 22 kΩ，求所需的电容 C。
Vs = 15 VVth = 12 VT = 1000 msR = 22 kΩ
C = µF
7.磁场与电磁感应中等
一个质子以 6 × 10⁵ m/s 的速度垂直进入均匀磁场，沿半径 3.133 cm 的圆运动。求磁感应强度 B。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁵ m/sr = 3.133 cm
B = T
8.磁场与电磁感应困难
一个 150 匝、15 cm × 10 cm 的线圈在 0.05 T 的均匀磁场中绕垂直于磁场的轴转动。它必须以多大的转速 n（单位：转/分）转动，才能产生 29.99 V 的有效值电动势？
N = 150A = 15 cm × 10 cmB = 0.05 TErms = 29.99 V
n = rpm
9.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电容并联接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 60 HzR1 = 30 ΩR2 = 100 ΩC = 47 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 2.158 × 10⁷ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.05² = 1.438 × 10⁷ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.05² = 7.192 × 10⁶ N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |1.438 × 10⁷ + 7.192 × 10⁶| = 2.158 × 10⁷ N/C
答案
E = 2.158 × 10⁷ N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 1091 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 20° = 0.03571 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 20° = 0.5472 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.5472·√(0.03571/8.99 × 10⁹) = 1.091 × 10⁻⁶ C = 1091 nC
答案
q = 1091 nC
3.串并联电阻
答案: IR1 = 2.217 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 2 + 10 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Req = R1 + 3.529 = 10 + 3.529 = 13.53 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 30/13.53 = 2.217 A
答案
IR1 = 2.217 A
4.串并联电阻
答案: Req = 7 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 6 + 2 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4 Ω
R3 + 4 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 5 Ω
Req = R1 + 5 = 2 + 5 = 7 Ω
答案
Req = 7 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 0.921 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0.2 ms
i(∞) = Vs/R = 12/50 = 0.24 A
求解时间
0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −0.2·ln(0.01) = 0.921 ms
答案
t = 0.921 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: C = 28.24 µF
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
12 = 15·(1 − e−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 12))
τ = 1000/1.609 = 621.3 ms
电容
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
C = τ/R = 621.3/22 = 28.24 µF
答案
C = 28.24 µF
7.磁场与电磁感应
答案: B = 0.2 T
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
由半径求磁场
B = mv/(|q|r) = 1.673 × 10⁻²⁷·6 × 10⁵/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.03133) = 0.2 T
答案
B = 0.2 T
8.磁场与电磁感应
答案: n = 3600 rpm
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
峰值电动势
E₀ = √2·Erms = 42.41 V
角速度
ω = E₀/(NBA) = 42.41/(150·0.05·0.015) = 377 rad/s
每分钟转数
n = 60·377/(2π) = 3600 rpm
答案
n = 3600 rpm
9.交流阻抗和相量
答案: |Z| = 23.09 Ω
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 120/30 = 4 A
IX = V/XC = 120/36.17 = 3.318 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(4² + 3.318²) = 5.197 A
阻抗
|Z| = V/I = 120/5.197 = 23.09 Ω
答案
|Z| = 23.09 Ω
10.交流阻抗和相量
答案: I = 1.449 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 24.16 − j42.8 Ω
总阻抗
Z = 30 + 24.16 − j42.8 = 54.16 − j42.8 Ω
|Z| = √(54.16² + 42.8²) = 69.03 Ω
电流
I = V/|Z| = 100/69.03 = 1.449 A
答案
I = 1.449 A
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