库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+8 µC 和 +2 µC 的两个电荷相距 10 cm。在两者之间的连线上，距 +8 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +8 µCq2 = +2 µCd = 10 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 1 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 4 cm，板间电场为 800 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 800 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 5 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 75 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 15 VR1 = 3.3 kΩR2 = 6.8 kΩC = 22 µFt = 75 ms
vC = V
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 求 t = 60 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 12 VR = 1 kΩC = 68 µFvC(0) = 20 Vt = 60 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
质子向页面下方运动，穿过均匀磁场（磁场方向垂直穿出纸面）。点选它所受磁力的方向。
v: 向页面下方B: 垂直穿出纸面
- 1向页面上方
- 2向右
- 3向页面下方
- 4向左
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 100 匝，长度为 50 cm，直径为 2.5 cm。求它的自感 L。
N = 100l = 50 cm⌀ = 2.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。
V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF
P = W
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路的 R = 20 Ω，L = 1 mH，C = 0.22 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。
R = 20 ΩL = 1 mHC = 0.22 µF
Q =
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 6.667 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
8/x² = 2/(10 − x)²
(10 − x)/x = √(2/8) = 0.5
位置
x = 10/(1 + 0.5) = 6.667 cm
答案
x = 6.667 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: y = 1.126 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.04/1 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·800/9.109 × 10⁻³¹ = 1.407 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·1.407 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0.001126 m = 1.126 mm
答案
y = 1.126 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 1.784 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 2 + 12 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5.091 Ω
Req = R1 + 5.091 = 5 + 5.091 = 10.09 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/10.09 = 1.784 A
答案
IR1 = 1.784 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.654 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 10.5 Ω
R3 + 10.5 = 15.5 Ω
R2 ∥ 15.5 = 3.78 Ω
Req = R1 + 3.78 = 2 + 3.78 = 5.78 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 5/5.78 = 0.865 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0.865·2 = 3.27 V
IR2 = VA/R2 = 3.27/5 = 0.654 A
答案
IR2 = 0.654 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 7.922 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容看到的戴维南等效电路
把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。
Rth = R1 ∥ R2 = 3.3·6.8/(3.3 + 6.8) = 2.222 kΩ
vC(∞) = 15·6.8/(3.3 + 6.8) = 10.1 V
时间常数
τ = Rth·C = 2.222·22 = 48.88 ms
充电曲线
vC(t) = 10.1·(1 − e−75/48.88) = 7.922 V
答案
vC = 7.922 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 15.31 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
vC(t) = 12 + (20 − 12)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(60) = 12 + (8)·e−60/68 = 15.31 V
答案
vC = 15.31 V
7.磁场与电磁感应
答案: 向左
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
右手定则
四指沿电流或速度方向，向 B 的方向弯曲；拇指指向正电荷所受的力。
v: 向页面下方, B: 垂直穿出纸面
力的方向
向左
答案
F: 向左
8.磁场与电磁感应
答案: L = 12.34 µH
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
横截面
A = π·(0.0125)² = 0.0004909 m²
自感
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0.0004909/0.5 = 1.234 × 10⁻⁵ H = 12.34 µH
答案
L = 12.34 µH
9.交流阻抗和相量
答案: P = 3.749 W
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = 37.7 Ω, XC = 56.44 Ω
阻抗
|Z| = √(15² + (−18.74)²) = 24 Ω
有功功率
电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。
I = 12/24 = 0.4999 A
P = I²·R = 0.4999²·15 = 3.749 W
答案
P = 3.749 W
10.交流阻抗和相量
答案: Q = 3.371
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振频率
f0 = 1/(2π·√(0.001·0.22·10⁻⁶)) = 10730 Hz
品质因数
Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.001/(0.22·10⁻⁶)) = 3.371
答案
Q = 3.371
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