库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+2 µC 和 +6 µC 的两个电荷相距 10 cm。在两者之间的连线上，距 +2 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +2 µCq2 = +6 µCd = 10 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 10 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 4 µCq2 = 10 µCq3 = 1 µCr13 = 4 cmr23 = 5 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 2 ΩR5 = 4 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。
Vs = 24 VR = 20 ΩL = 100 mHt = 5 ms
W = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。 求 t = 25 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 12 VR = 2.2 kΩC = 22 µFvC(0) = 24 Vt = 25 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一个 200 匝线圈的面积为 40 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.1 T 均匀磁场中，在 250 ms 内翻转（转过 180°）。 求平均感应电动势 ε。
N = 200A = 40 cm²B = 0.1 TΔt = 250 ms
ε = mV
8.磁场与电磁感应困难
在速度选择器中，正交的电场 E = 8 × 10⁴ V/m 和磁场 B = 0.05 T 只允许一种速率的离子直线通过。求该速率 v。
E = 8 × 10⁴ V/mB1 = 0.05 T
v = m/s
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 47 µF
P = W
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 3.66 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
2/x² = 6/(10 − x)²
(10 − x)/x = √(6/2) = 1.732
位置
x = 10/(1 + 1.732) = 3.66 cm
答案
x = 3.66 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: F = 42.41 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·4·1 × 10⁻¹²/0.04² = 22.47 N
F2 = k·10·1 × 10⁻¹²/0.05² = 35.96 N
矢量和
F = √(22.47² + 35.96²) = 42.41 N
答案
F = 42.41 N
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.5714 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 12 + 3 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 3·15/(3+15) = 2.5 Ω
Req = R1 + 2.5 = 15 + 2.5 = 17.5 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 12/17.5 = 0.6857 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.6857·15 = 1.714 V
IR2 = VA/R2 = 1.714/3 = 0.5714 A
答案
IR2 = 0.5714 A
4.串并联电阻
答案: IR1 = 0.8651 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 4 + 5 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 1.636 Ω
R3 + 1.636 = 4.636 Ω
R2 ∥ 4.636 = 2.935 Ω
Req = R1 + 2.935 = 4 + 2.935 = 6.935 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 6/6.935 = 0.8651 A
答案
IR1 = 0.8651 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: W = 28.77 mJ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms
i(∞) = Vs/R = 24/20 = 1.2 A
给定时刻的电流
i(t) = 1.2·(1 − e−5/5) = 0.7585 A
储存的能量
W = ½·L·i² = ½·100·0.7585² = 28.77 mJ
答案
W = 28.77 mJ
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 19.16 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 22 µF = 48.4 ms
vC(t) = 12 + (24 − 12)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(25) = 12 + (12)·e−25/48.4 = 19.16 V
答案
vC = 19.16 V
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 640 mV
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = 2·0.1·0.004 = 0.0008 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 200·0.0008/0.25 = 0.64 V
答案
ε = 640 mV
8.磁场与电磁感应
答案: v = 1.6 × 10⁶ m/s
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 8 × 10⁴/0.05 = 1.6 × 10⁶ m/s
答案
v = 1.6 × 10⁶ m/s
9.交流阻抗和相量
答案: P = 1084 W
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = 37.7 Ω, XC = 56.44 Ω
阻抗
|Z| = √(40² + (−18.74)²) = 44.17 Ω
有功功率
电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。
I = 230/44.17 = 5.207 A
P = I²·R = 5.207²·40 = 1084 W
答案
P = 1084 W
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.3408 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (282.3)²) = 293.4 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 100/293.4 = 0.3408 A
答案
I = 0.3408 A
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