库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
两个相同的金属小球分别带有 +6 µC 和 +3 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 50 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +6 µCq2 = +3 µCr = 50 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 8 g 的相同小球用长 20 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 20° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 8 gL = 20 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 ΩR5 = 10 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 60 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 24 VR1 = 3.3 kΩR2 = 6.8 kΩC = 33 µFt = 60 ms
vC = V
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 7.8 V？求 t。
Vs = 6 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 15 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
一个 50 匝、面积 80 cm²、电阻 8 Ω 的线圈构成闭合回路。垂直于线圈的均匀磁场在 250 ms 内从 0.05 T 均匀增大到 0.45 T。 求平均感应电流 I。
N = 50A = 80 cm²B: 0.05 T → 0.45 TΔt = 250 msR = 8 Ω
I = mA
8.磁场与电磁感应困难
一个 α 粒子不发生偏转地通过正交电场 E = 2 × 10⁵ V/m 和磁场 B₁ = 0.4 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 0.8 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。
E = 2 × 10⁵ V/mB1 = 0.4 TB2 = 0.8 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 1 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR1 = 10 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 0.7282 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触后的电荷
q′ = (6 + 3)/2 = 4.5 µC
新的作用力
F = 8.99 × 10⁹·(4.5 × 10⁻⁶)²/0.5² = 0.7282 N
答案
F = 0.7282 N
现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。
2.库仑定律与电场
答案: q = 243.9 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 20° = 0.02856 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 20° = 0.1368 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1368·√(0.02856/8.99 × 10⁹) = 2.439 × 10⁻⁷ C = 243.9 nC
答案
q = 243.9 nC
3.串并联电阻
答案: IR1 = 0.7415 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 4 + 20 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 5·24/(5+24) = 4.138 Ω
Req = R1 + 4.138 = 8 + 4.138 = 12.14 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 9/12.14 = 0.7415 A
答案
IR1 = 0.7415 A
4.串并联电阻
答案: Req = 10.95 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 10 + 25 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 8.936 Ω
R3 + 8.936 = 12.94 Ω
R2 ∥ 12.94 = 6.946 Ω
Req = R1 + 6.946 = 4 + 6.946 = 10.95 Ω
答案
Req = 10.95 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 9.03 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容看到的戴维南等效电路
把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。
Rth = R1 ∥ R2 = 3.3·6.8/(3.3 + 6.8) = 2.222 kΩ
vC(∞) = 24·6.8/(3.3 + 6.8) = 16.16 V
时间常数
τ = Rth·C = 2.222·33 = 73.32 ms
充电曲线
vC(t) = 16.16·(1 − e−60/73.32) = 9.03 V
答案
vC = 9.03 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 3541 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 6 + (15 − 6)·e−t/τ
求解时间
7.8 = 6 + (9)·e−t/τ → e−t/τ = (7.8 − 6)/(15 − 6) = 0.2
t = τ·ln((15 − 6)/(7.8 − 6)) = 2200·ln(5) = 3541 ms
答案
t = 3541 ms
7.磁场与电磁感应
答案: I = 80 mA
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = (0.45 − 0.05)·0.008 = 0.0032 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 50·0.0032/0.25 = 0.64 V
电流
I = ε/R = 0.64/8 = 0.08 A
答案
I = 80 mA
8.磁场与电磁感应
答案: r = 1.296 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 2 × 10⁵/0.4 = 500000 m/s
第二个磁场中的半径
r = mv/(|q|B2) = 0.01296 m = 1.296 cm
答案
r = 1.296 cm
9.交流阻抗和相量
答案: φ = −78.27 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.25 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795.8 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−481.6)²) = 491.9 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−481.6/100) = −78.27°
答案
φ = −78.27°
10.交流阻抗和相量
答案: I = 3.661 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 48.09 − j23.93 Ω
总阻抗
Z = 10 + 48.09 − j23.93 = 58.09 − j23.93 Ω
|Z| = √(58.09² + 23.93²) = 62.83 Ω
电流
I = V/|Z| = 230/62.83 = 3.661 A
答案
I = 3.661 A
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