物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +10 µC 的电荷与一个 +8 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 8 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +10 µCq₂ = +8 µCr₁ = 8 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 4 µC 位于直角顶点，q₁ = 5 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 5 µCq₂ = 6 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 22 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9.48 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 C = 22 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 15 VV_th = 9.48 VT = 25 msC = 22 µF

R = kΩ

7.磁场与电磁感应中等

一个质子在 0.1 T 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 0.1 T

T = ns

8.磁场与电磁感应困难

两个自感分别为 100 mH 和 10 mH 的线圈，耦合系数为 0.5。第一个线圈中的电流以 500 A/s 变化。求第二个线圈中感应出的电动势 ε。

L₁ = 100 mHL₂ = 10 mHk = 0.5di/dt = 500 A/s

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 2 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 2 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 0.22 µF

V_L = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 9.052 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0.08² = 1.405 × 10⁷ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0.12² = 4.994 × 10⁶ N/C

方向与合成

两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。

E = |1.405 × 10⁷ − 4.994 × 10⁶| = 9.052 × 10⁶ N/C

答案

E = 9.052 × 10⁶ N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 60.26 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·5·4 × 10⁻¹²/0.06² = 49.94 N

F₂ = k·6·4 × 10⁻¹²/0.08² = 33.71 N

矢量和

F = √(49.94² + 33.71²) = 60.26 N

答案

F = 60.26 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5534 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 2·19/(2+19) = 1.81 Ω

R_eq = R₁ + 1.81 = 8 + 1.81 = 9.81 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/9.81 = 0.6117 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.6117·8 = 1.107 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.107/2 = 0.5534 A

答案

I_R2 = 0.5534 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 9.977 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 30 = 60 Ω

R₄ ∥ 60 = 2.857 Ω

R₃ + 2.857 = 14.86 Ω

R₂ ∥ 14.86 = 5.977 Ω

R_eq = R₁ + 5.977 = 4 + 5.977 = 9.977 Ω

答案

R_eq = 9.977 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.402 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0.3191 A

求解时间

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −0.4681·ln(0.05) = 1.402 ms

答案

t = 1.402 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 1.137 kΩ

所需的时间常数

9.48 = 15·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(15/(15 − 9.48))

τ = 25/0.9997 = 25.01 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 25.01/22 = 1.137 kΩ

答案

R = 1.137 kΩ

7.磁场与电磁感应

答案: T = 656.2 ns

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

圆周运动的周期

更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1.673 × 10⁻²⁷/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.1) = 656.2 ns

答案

T = 656.2 ns

不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 7.906 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

互感

M = 0.5·√(100·10) = 15.81 mH

感应电动势

ε = M·di/dt = 0.01581·500 = 7.906 V

答案

ε = 7.906 V

9.交流阻抗和相量

答案: I = 1.083 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (109.7)²) = 110.8 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/110.8 = 1.083 A

答案

I = 1.083 A

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 89.89 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·0.22·10⁻⁶) = 6742 rad/s

I = V/R = 2/15 = 0.1333 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 6742·0.1 = 674.2 Ω

V_L = I·X_L = 0.1333·674.2 = 89.89 V

答案

V_L = 89.89 V

这是电源电压的 Q = 44.95 倍。

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