物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++6 µC++5 µCE = 050 cm

+6 µC 和 +5 µC 的两个电荷相距 50 cm。在两者之间的连线上，距 +6 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q1 = +6 µCq2 = +5 µCd = 50 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
+ + + + + +− − − − − −e⁻1 × 10⁷ m/s4 cmE = 3800 N/C

一个电子以 1 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 4 cm，板间电场为 3800 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 3800 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩIR2​AR4​12 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAR4​2 ΩBR6​30 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 68 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 6 VR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 4.7 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 8 V？求 t。

Vs = 9 VR = 4.7 kΩC = 68 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
nBA = 10 cm², N = 25B = 0.8 T

一个 25 匝线圈的面积为 10 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.8 T 均匀磁场中，在 250 ms 内翻转（转过 180°）。 求平均感应电动势 ε。

N = 25A = 10 cm²B = 0.8 TΔt = 250 ms
ε = mV
8.磁场与电磁感应困难
l = 40 cmN = 1500, ⌀ 2 cm

一个长空心螺线管有 1500 匝，长度为 40 cm，直径为 2 cm。求它的自感 L。

N = 1500l = 40 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.交流阻抗和相量中等
230 V100 HzR = 40 ΩL = 20 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 230 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 20 mH
|Z| = Ω
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 15 ΩL = 20 mHC = 0.22 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 15 Ω，L = 20 mH，C = 0.22 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 15 ΩL = 20 mHC = 0.22 µF
B = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 26.14 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

6/x² = 5/(50 − x)²
(50 − x)/x = √(5/6) = 0.9129

位置

x = 50/(1 + 0.9129) = 26.14 cm

答案

x = 26.14 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: y = 5.346 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

在板间的时间

t = L/v₀ = 0.04/1 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

侧向加速度

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3800/9.109 × 10⁻³¹ = 6.683 × 10¹⁴ m/s²

挠度

y = ½·a·t² = ½·6.683 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0.005346 m = 5.346 mm

答案

y = 5.346 mm

电子被推向正极板，与电场方向相反。

3.串并联电阻

答案: IR2 = 0.7742 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 12 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 8·32/(8+32) = 6.4 Ω
Req = R1 + 6.4 = 6 + 6.4 = 12.4 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/12.4 = 0.9677 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.9677·6 = 6.194 V
IR2 = VA/R2 = 6.194/8 = 0.7742 A

答案

IR2 = 0.7742 A
4.串并联电阻

答案: Req = 13.68 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAR4​2 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 1.892 Ω
R3 + 1.892 = 13.89 Ω
R2 ∥ 13.89 = 3.677 Ω
Req = R1 + 3.677 = 10 + 3.677 = 13.68 Ω

答案

Req = 13.68 Ω
5.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 2.207 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 6/68 = 0.08824 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−1/1 = 2.207 V

答案

vL = 2.207 V
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 514.4 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 68 µF = 319.6 ms
vC(t) = 9 + (4 − 9)·e−t/τ

求解时间

8 = 9 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (8 − 9)/(4 − 9) = 0.2
t = τ·ln((4 − 9)/(8 − 9)) = 319.6·ln(5) = 514.4 ms

答案

t = 514.4 ms
7.磁场与电磁感应

答案: ε = 160 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 2·0.8·0.001 = 0.0016 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 25·0.0016/0.25 = 0.16 V

答案

ε = 160 mV
8.磁场与电磁感应

答案: L = 2.221 mH

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

横截面

A = π·(0.01)² = 0.0003142 m²

自感

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1500²·0.0003142/0.4 = 0.002221 H = 2.221 mH

答案

L = 2.221 mH
9.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 11.99 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·100·0.02 = 12.57 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 230/40 = 5.75 A
IX = V/XL = 230/12.57 = 18.3 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(5.75² + 18.3²) = 19.18 A

阻抗

|Z| = V/I = 230/19.18 = 11.99 Ω

答案

|Z| = 11.99 Ω
10.交流阻抗和相量

答案: B = 119.4 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.02·0.22·10⁻⁶)) = 2399 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.02/(0.22·10⁻⁶)) = 20.1

带宽

B = f0/Q = 2399/20.1 = 119.4 Hz

答案

B = 119.4 Hz

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