物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

两个相同的金属小球分别带有 −8 µC 和 −1 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 25 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = −1 µCr = 25 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

两个质量均为 10 g 的相同小球用长 100 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 5° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 100 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

V_s = 12 VR = 15 ΩL = 150 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 26.4 V？求 t。

V_s = 24 VR = 2.2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个圆形回路位于磁场方向为垂直穿出纸面的均匀磁场中。磁场强度正在增大。点选图中所见的回路感应电流方向。

B: 垂直穿出纸面dB/dt > 0

1顺时针
2逆时针

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 100 匝，长度为 50 cm，直径为 5 cm。当它通有 0.5 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 100l = 50 cm⌀ = 5 cmI = 0.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.交流阻抗和相量中等

一个 L = 2 mH 的 RLC 串联电路必须在 60 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f₀ = 60 HzL = 2 mH

C = µF

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 2.913 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (−8 + −1)/2 = −4.5 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(4.5 × 10⁻⁶)²/0.25² = 2.913 N

答案

F = 2.913 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: q = 170.3 nC

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 5° = 0.008583 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 5° = 0.1743 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1743·√(0.008583/8.99 × 10⁹) = 1.703 × 10⁻⁷ C = 170.3 nC

答案

q = 170.3 nC

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5556 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω

R_eq = R₁ + 2.308 = 6 + 2.308 = 8.308 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/8.308 = 0.7222 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.7222·6 = 1.667 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.667/3 = 0.5556 A

答案

I_R2 = 0.5556 A

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.1531 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 4.2 Ω

R₃ + 4.2 = 7.2 Ω

R₂ ∥ 7.2 = 4.5 Ω

R_eq = R₁ + 4.5 = 20 + 4.5 = 24.5 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/24.5 = 0.4082 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.4082·20 = 1.837 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.837/12 = 0.1531 A

答案

I_R2 = 0.1531 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 23.03 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 12/15 = 0.8 A

求解时间

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −10·ln(0.1) = 23.03 ms

答案

t = 23.03 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 66.52 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms

v_C(t) = 24 + (30 − 24)·e^−t/τ

求解时间

26.4 = 24 + (6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (26.4 − 24)/(30 − 24) = 0.4

t = τ·ln((30 − 24)/(26.4 − 24)) = 72.6·ln(2.5) = 66.52 ms

答案

t = 66.52 ms

7.磁场与电磁感应

答案: 顺时针

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

磁通量的变化

穿出纸面的磁通量增大，或进入纸面的磁通量减小。

感应电流的磁场

感应电流阻碍这一变化。

回路内部的感应磁场：进入纸面。

电流的方向

右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。

顺时针

答案

顺时针

8.磁场与电磁感应

答案: W = 6.169 µJ

自感

L = μ₀N²A/l = 49.35 µH

储存的能量

W = ½LI² = ½·4.935 × 10⁻⁵·0.5² = 6.169 × 10⁻⁶ J = 6.169 µJ

答案

W = 6.169 µJ

9.交流阻抗和相量

答案: C = 3518 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0.002) = 3518 µF

答案

C = 3518 µF

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 239.9 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·22·10⁻⁶)) = 239.9 Hz

答案

f₀ = 239.9 Hz

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