物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +1 µC 的电荷与一个 −2 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +1 µCq₂ = −2 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 2 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 2 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 2 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.05 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 0.5 AR = 50 ΩL = 68 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

V_s = 20 VR₁ = 22 ΩR₂ = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.磁场与电磁感应中等

一个正方形回路向右运动，进入磁场方向为垂直进入纸面的均匀磁场区域。回路进入磁场时，点选图中所见的回路感应电流方向。

B: 垂直进入纸面进入磁场

1顺时针
2逆时针

8.磁场与电磁感应困难

一个 100 mH 的电感中，电流在 5 ms 内从 5 A 均匀变化到 1 A。求自感电动势的大小 ε。

L = 100 mH5 A → 1 AΔt = 5 ms

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路的 R = 2 Ω，L = 1 mH，C = 10 µF。求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 2 ΩL = 1 mHC = 10 µF

B = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 3.434 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0.12² = 624306 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0.08² = 2.809 × 10⁶ N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |624306 + 2.809 × 10⁶| = 3.434 × 10⁶ N/C

答案

E = 3.434 × 10⁶ N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 11.58 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.04² = 11.24 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.08² = 2.809 N

矢量和

F = √(11.24² + 2.809²) = 11.58 N

答案

F = 11.58 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 18.43 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 4·24/(4+24) = 3.429 Ω

R_eq = R₁ + 3.429 = 15 + 3.429 = 18.43 Ω

答案

R_eq = 18.43 Ω

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.4279 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 8 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 10.75 Ω

R₃ + 10.75 = 15.75 Ω

R₂ ∥ 15.75 = 7.684 Ω

R_eq = R₁ + 7.684 = 4 + 7.684 = 11.68 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/11.68 = 0.4279 A

答案

I_R1 = 0.4279 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 3.132 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms

求解时间

0.05 = 0.5·e^−t/τ → t = τ·ln(0.5/0.05)

t = 1.36·ln(10) = 3.132 ms

答案

t = 3.132 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.8189 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 20/(22 + 22) = 0.4545 A

i(∞) = 20/22 = 0.9091 A

τ = L/R = 68/22 = 3.091 ms

i(t) = 0.9091 + (0.4545 − 0.9091)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.9091 + (−0.4545)·e^−5/3.091 = 0.8189 A

答案

i = 0.8189 A

7.磁场与电磁感应

答案: 逆时针

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

磁通量的变化

进入纸面的磁通量增大，或穿出纸面的磁通量减小。

感应电流的磁场

感应电流阻碍这一变化。

回路内部的感应磁场：穿出纸面。

电流的方向

右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。

逆时针

答案

逆时针

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 80 V

自感电动势

电动势阻碍电流的变化（楞次定律），所以它的符号与 ΔI 相反；大小为 L·|ΔI|/Δt。

ε = L·ΔI/Δt = 0.1·4/0.005 = 80 V

答案

ε = 80 V

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.3664 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (326.6)²) = 327.5 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/327.5 = 0.3664 A

答案

I = 0.3664 A

10.交流阻抗和相量

答案: B = 318.3 Hz

谐振频率

f₀ = 1/(2π·√(0.001·10·10⁻⁶)) = 1592 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.001/(10·10⁻⁶)) = 5

带宽

B = f₀/Q = 1592/5 = 318.3 Hz

答案

B = 318.3 Hz

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