库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +6 µC 的电荷与一个 +2 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +6 µCq2 = +2 µCr1 = 12 cmr2 = 8 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 5 g 的相同小球用长 80 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 10° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 5 gL = 80 cmθ = 10°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 36 VR1 = 6 ΩR2 = 30 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 ΩR5 = 5 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 75%？求 t。
Vs = 20 VR = 20 ΩL = 220 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 200 ms。 已知 R = 22 kΩ，求所需的电容 C。
Vs = 15 VVth = 7.5 VT = 200 msR = 22 kΩ
C = µF
7.磁场与电磁感应中等
两根相距 8 cm 的长平行导线通有同方向的 10 A 和 20 A 电流。求位于它们正中间的 P 点处磁感应强度的大小 B。
I1 = 10 AI2 = 20 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁场与电磁感应困难
一个氘核从静止开始，经电势差 2500 V 加速后，垂直进入 0.2 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。
m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0.2 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个 L = 100 mH 的 RLC 串联电路必须在 1000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。
f0 = 1000 HzL = 100 mH
C = µF
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 50 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。
V = 50 V (rms)f = 60 HzR1 = 30 ΩR2 = 100 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 936458 N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.12² = 3.746 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.08² = 2.809 × 10⁶ N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |3.746 × 10⁶ − 2.809 × 10⁶| = 936458 N/C
答案
E = 936458 N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 272.5 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 10° = 0.008649 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 10° = 0.2778 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.2778·√(0.008649/8.99 × 10⁹) = 2.725 × 10⁻⁷ C = 272.5 nC
答案
q = 272.5 nC
3.串并联电阻
答案: Req = 7.867 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 12 + 10 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 8·22/(8+22) = 5.867 Ω
Req = R1 + 5.867 = 2 + 5.867 = 7.867 Ω
答案
Req = 7.867 Ω
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.7746 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 5 + 3 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 2.182 Ω
R3 + 2.182 = 17.18 Ω
R2 ∥ 17.18 = 10.92 Ω
Req = R1 + 10.92 = 6 + 10.92 = 16.92 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 36/16.92 = 2.127 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 2.127·6 = 23.24 V
IR2 = VA/R2 = 23.24/30 = 0.7746 A
答案
IR2 = 0.7746 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 15.25 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms
i(∞) = Vs/R = 20/20 = 1 A
求解时间
0.75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)
t = −11·ln(0.25) = 15.25 ms
答案
t = 15.25 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: C = 13.12 µF
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
7.5 = 15·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 7.5))
τ = 200/0.6931 = 288.5 ms
电容
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
C = τ/R = 288.5/22 = 13.12 µF
答案
C = 13.12 µF
7.磁场与电磁感应
答案: B = 50 µT
电流的磁场：在长直导线周围，磁感线是圆（右手螺旋定则），B = μ₀I/(2πr)。在 N 匝平面圆形线圈的中心，B = μ₀NI/(2R)。在长螺线管内部，磁场是均匀的，B = μ₀nI，其中 n = N/L 是每米匝数，与半径无关。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。使用国际单位制（米和安培），并把多个来源的磁场按矢量相加。
每根导线在 P 点的磁场
B1 = 2 × 10⁻⁷·10/0.04 = 50 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·20/0.04 = 100 µT
合并
B = |B₁ − B₂| = 50 µT
答案
B = 50 µT
8.磁场与电磁感应
答案: r = 5.108 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速后的速率
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·2500/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 489422 m/s
磁场中的半径
r = mv/(|q|B) = 0.05108 m = 5.108 cm
答案
r = 5.108 cm
合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。
9.交流阻抗和相量
答案: C = 0.2533 µF
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振条件
谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.1) = 0.2533 µF
答案
C = 0.2533 µF
10.交流阻抗和相量
答案: |Z| = 44.18 Ω
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 6.574 − j24.78 Ω
总阻抗
Z = 30 + 6.574 − j24.78 = 36.57 − j24.78 Ω
|Z| = √(36.57² + 24.78²) = 44.18 Ω
答案
|Z| = 44.18 Ω
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism