物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+3 µC 和 +8 µC 的两个电荷相距 80 cm。在两者之间的连线上，距 +3 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +3 µCq₂ = +8 µCd = 80 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 10 µC 位于直角顶点，q₁ = 8 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 8 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 8 µCq₂ = 8 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 10 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 220 mHt = 10 ms

W = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 100 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 10 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 100 µFt = 100 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个 250 匝、面积 80 cm²、电阻 5 Ω 的线圈构成闭合回路。垂直于线圈的均匀磁场在 100 ms 内从 0.2 T 均匀增大到 0.3 T。求平均感应电流 I。

N = 250A = 80 cm²B: 0.2 T → 0.3 TΔt = 100 msR = 5 Ω

I = mA

8.磁场与电磁感应困难

一个 200 匝、5 cm × 10 cm 的线圈在 0.2 T 的均匀磁场中绕垂直于磁场的轴转动。它必须以多大的转速 n（单位：转/分）转动，才能产生 8.886 V 的有效值电动势？

N = 200A = 5 cm × 10 cmB = 0.2 TE_rms = 8.886 V

n = rpm

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求从电源吸取的有功功率 P。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF

P = W

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 30.38 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

3/x² = 8/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(8/3) = 1.633

位置

x = 80/(1 + 1.633) = 30.38 cm

答案

x = 30.38 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 533.7 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·8·10 × 10⁻¹²/0.04² = 449.5 N

F₂ = k·8·10 × 10⁻¹²/0.05² = 287.7 N

矢量和

F = √(449.5² + 287.7²) = 533.7 N

答案

F = 533.7 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.042 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 2·8/(2+8) = 1.6 Ω

R_eq = R₁ + 1.6 = 8 + 1.6 = 9.6 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/9.6 = 1.042 A

答案

I_R1 = 1.042 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 19.82 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 4 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 12.59 Ω

R₃ + 12.59 = 14.59 Ω

R₂ ∥ 14.59 = 9.817 Ω

R_eq = R₁ + 9.817 = 10 + 9.817 = 19.82 Ω

答案

R_eq = 19.82 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: W = 3.873 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0.2128 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.2128·(1 − e^−10/4.681) = 0.1876 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·220·0.1876² = 3.873 mJ

答案

W = 3.873 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 1.833 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 10·3.3/(10 + 3.3) = 2.481 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 3.3·100 = 330 ms

放电

v_C(t) = 2.481·e^−100/330 = 1.833 V

答案

v_C = 1.833 V

7.磁场与电磁感应

答案: I = 400 mA

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = (0.3 − 0.2)·0.008 = 0.0008 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 250·0.0008/0.1 = 2 V

电流

I = ε/R = 2/5 = 0.4 A

答案

I = 400 mA

8.磁场与电磁感应

答案: n = 600 rpm

峰值电动势

E₀ = √2·E_rms = 12.57 V

角速度

ω = E₀/(NBA) = 12.57/(200·0.2·0.005) = 62.83 rad/s

每分钟转数

n = 60·62.83/(2π) = 600 rpm

答案

n = 600 rpm

9.交流阻抗和相量

答案: P = 54.73 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 251.3 Ω, X_C = 361.7 Ω

阻抗

|Z| = √(60² + (−110.4)²) = 125.6 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 120/125.6 = 0.9551 A

P = I²·R = 0.9551²·60 = 54.73 W

答案

P = 54.73 W

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 103.8 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·47·10⁻⁶)) = 103.8 Hz

答案

f₀ = 103.8 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism