物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

两个相同的金属小球分别带有 +1 µC 和 +3 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 20 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +3 µCr = 20 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 5 µC 位于直角顶点，q₁ = 1 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 6 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 1 µCq₂ = 6 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 36 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 5 ms 时的电流 i。

i(0) = 3 AR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 6 V 时它必须触发，恰好在开始后 1000 ms。已知 C = 2.2 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 12 VV_th = 6 VT = 1000 msC = 2.2 µF

R = kΩ

7.磁场与电磁感应中等

一个 20 匝线圈的面积为 25 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.5 T 均匀磁场中，在 50 ms 内翻转（转过 180°）。求平均感应电动势 ε。

N = 20A = 25 cm²B = 0.5 TΔt = 50 ms

ε = V

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 200 匝，长度为 50 cm，直径为 1 cm。求它的自感 L。

N = 200l = 50 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 100 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 0.899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (1 + 3)/2 = 2 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(2 × 10⁻⁶)²/0.2² = 0.899 N

答案

F = 0.899 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: F = 75.05 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·1·5 × 10⁻¹²/0.1² = 4.495 N

F₂ = k·6·5 × 10⁻¹²/0.06² = 74.92 N

矢量和

F = √(4.495² + 74.92²) = 75.05 N

答案

F = 75.05 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 8.143 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 6 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 12·9/(12+9) = 5.143 Ω

R_eq = R₁ + 5.143 = 3 + 5.143 = 8.143 Ω

答案

R_eq = 8.143 Ω

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 3.163 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 20 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 1.905 Ω

R₃ + 1.905 = 21.9 Ω

R₂ ∥ 21.9 = 3.382 Ω

R_eq = R₁ + 3.382 = 8 + 3.382 = 11.38 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/11.38 = 3.163 A

答案

I_R1 = 3.163 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2463 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

电流的衰减

i(t) = 3·e^−5/2 = 0.2463 A

答案

i = 0.2463 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 655.8 kΩ

所需的时间常数

6 = 12·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(12/(12 − 6))

τ = 1000/0.6931 = 1443 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 1443/2.2 = 655.8 kΩ

答案

R = 655.8 kΩ

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 1 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 2·0.5·0.0025 = 0.0025 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 20·0.0025/0.05 = 1 V

答案

ε = 1 V

8.磁场与电磁感应

答案: L = 7.896 µH

横截面

A = π·(0.005)² = 7.854 × 10⁻⁵ m²

自感

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·200²·7.854 × 10⁻⁵/0.5 = 7.896 × 10⁻⁶ H = 7.896 µH

答案

L = 7.896 µH

9.交流阻抗和相量

答案: φ = 74.52 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (180.5)²) = 187.3 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(180.5/50) = 74.52°

答案

φ = 74.52°

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 103.8 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·47·10⁻⁶)) = 103.8 Hz

答案

f₀ = 103.8 Hz

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