库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +4 µC 的电荷与一个 −5 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 8 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +4 µCq2 = −5 µCr1 = 8 cmr2 = 12 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
+3 µC 和 −3 µC 的两个电荷相距 16 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 8 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +3 µCq2 = −3 µCd = 16 cmh = 8 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 36 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 30 ΩR5 = 5 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。
Vs = 24 VR = 22 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 1 ms 时的电感电流 i。
Vs = 20 VR1 = 47 ΩR2 = 10 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
一个 250 匝线圈的面积为 80 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.4 T 均匀磁场中，在 40 ms 内翻转（转过 180°）。 求平均感应电动势 ε。
N = 250A = 80 cm²B = 0.4 TΔt = 40 ms
ε = V
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 200 匝，长度为 20 cm，直径为 2 cm。当它通有 2 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。
N = 200l = 20 cm⌀ = 2 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。
V = 12 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 0.22 µF
VL = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 8.74 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.08² = 5.619 × 10⁶ N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0.12² = 3.122 × 10⁶ N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |5.619 × 10⁶ + 3.122 × 10⁶| = 8.74 × 10⁶ N/C
答案
E = 8.74 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: E = 2.98 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(8² + 8²) = 11.31 cm
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.1131² = 2.107 × 10⁶ N/C
分量
沿中垂线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(a/r) = 2·2.107 × 10⁶·0.7071 = 2.98 × 10⁶ N/C
答案
E = 2.98 × 10⁶ N/C
电场平行于两电荷连线，从正电荷指向负电荷。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 1.486 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 10 + 8 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 15·18/(15+18) = 8.182 Ω
Req = R1 + 8.182 = 12 + 8.182 = 20.18 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 30/20.18 = 1.486 A
答案
IR1 = 1.486 A
4.串并联电阻
答案: IR1 = 1.82 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 5 + 20 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 13.64 Ω
R3 + 13.64 = 23.64 Ω
R2 ∥ 23.64 = 4.785 Ω
Req = R1 + 4.785 = 15 + 4.785 = 19.79 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 36/19.79 = 1.82 A
答案
IR1 = 1.82 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.7278 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4.545 ms
i(∞) = Vs/R = 24/22 = 1.091 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1.091·(1 − e−5/4.545) = 0.7278 A
答案
i = 0.7278 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.3881 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。
i(0) = 20/(47 + 10) = 0.3509 A
i(∞) = 20/47 = 0.4255 A
τ = L/R = 68/47 = 1.447 ms
i(t) = 0.4255 + (0.3509 − 0.4255)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(1) = 0.4255 + (−0.07465)·e−1/1.447 = 0.3881 A
答案
i = 0.3881 A
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 40 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = 2·0.4·0.008 = 0.0064 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 250·0.0064/0.04 = 40 V
答案
ε = 40 V
8.磁场与电磁感应
答案: W = 157.9 µJ
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
自感
L = μ₀N²A/l = 78.96 µH
储存的能量
W = ½LI² = ½·7.896 × 10⁻⁵·2² = 0.0001579 J = 157.9 µJ
答案
W = 157.9 µJ
9.交流阻抗和相量
答案: φ = 53.91 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (109.7)²) = 135.8 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(109.7/80) = 53.91°
答案
φ = 53.91°
10.交流阻抗和相量
答案: VL = 539.4 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·0.22·10⁻⁶) = 6742 rad/s
I = V/R = 12/15 = 0.8 A
电感两端的电压
XL = ω₀L = 6742·0.1 = 674.2 Ω
VL = I·XL = 0.8·674.2 = 539.4 V
答案
VL = 539.4 V
这是电源电压的 Q = 44.95 倍。
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