库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
两个相同的金属小球分别带有 +3 µC 和 +2 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 30 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +3 µCq2 = +2 µCr = 30 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
+10 µC 和 +10 µC 的两个电荷相距 12 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 3 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = +10 µCd = 12 cmh = 3 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 25 ΩR3 = 5 ΩR4 = 20 ΩR5 = 2 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。
Vs = 10 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。 求 t = 1000 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 9 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 5 Vt = 1000 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
两根相距 10 cm 的长平行导线通有同方向的 15 A 和 10 A 电流。求它们之间每米长度所受的力 F/L。
I1 = 15 AI2 = 10 Ad = 10 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 400 匝，长度为 10 cm，直径为 1.5 cm。当它通有 4 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。
N = 400l = 10 cm⌀ = 1.5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.交流阻抗和相量中等
一个 L = 2 mH 的 RLC 串联电路必须在 1000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。
f0 = 1000 HzL = 2 mH
C = µF
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 50 V (rms)f = 100 HzR1 = 10 ΩR2 = 150 ΩC = 10 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 0.6243 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触后的电荷
q′ = (3 + 2)/2 = 2.5 µC
新的作用力
F = 8.99 × 10⁹·(2.5 × 10⁻⁶)²/0.3² = 0.6243 N
答案
F = 0.6243 N
现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。
2.库仑定律与电场
答案: E = 1.787 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(6² + 3²) = 6.708 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.06708² = 1.998 × 10⁷ N/C
分量
沿两电荷连线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(h/r) = 2·1.998 × 10⁷·0.4472 = 1.787 × 10⁷ N/C
答案
E = 1.787 × 10⁷ N/C
电场沿中垂线方向，背离两个电荷。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 3 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 20 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 8·24/(8+24) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 2 + 6 = 8 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 24/8 = 3 A
答案
IR1 = 3 A
4.串并联电阻
答案: IR1 = 0.6279 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 2 + 10 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 7.5 Ω
R3 + 7.5 = 12.5 Ω
R2 ∥ 12.5 = 8.333 Ω
Req = R1 + 8.333 = 6 + 8.333 = 14.33 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 9/14.33 = 0.6279 A
答案
IR1 = 0.6279 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.1616 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0.7021 ms
i(∞) = Vs/R = 10/47 = 0.2128 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.2128·(1 − e−1/0.7021) = 0.1616 A
答案
i = 0.1616 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 6.461 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 9 + (5 − 9)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(1000) = 9 + (−4)·e−1000/2200 = 6.461 V
答案
vC = 6.461 V
7.磁场与电磁感应
答案: F/L = 300 µN/m
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
每米长度所受的力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·15·10/0.1 = 300 µN/m
答案
F/L = 300 µN/m
同方向的电流相互吸引。
8.磁场与电磁感应
答案: W = 2.842 mJ
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
自感
L = μ₀N²A/l = 355.3 µH
储存的能量
W = ½LI² = ½·0.0003553·4² = 0.002842 J = 2.842 mJ
答案
W = 2.842 mJ
9.交流阻抗和相量
答案: C = 12.67 µF
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振条件
谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.002) = 12.67 µF
答案
C = 12.67 µF
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.4287 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 79.44 − j74.87 Ω
总阻抗
Z = 10 + 79.44 − j74.87 = 89.44 − j74.87 Ω
|Z| = √(89.44² + 74.87²) = 116.6 Ω
电流
I = V/|Z| = 50/116.6 = 0.4287 A
答案
I = 0.4287 A
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