库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +10 µC 的电荷与一个 −8 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 24 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +10 µCq2 = −8 µCr1 = 24 cmr2 = 16 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 1 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 3 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 1 µCq2 = 3 µCq3 = 1 µCr13 = 4 cmr23 = 8 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 5 VR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 ΩR5 = 8 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 75%？求 t。
Vs = 24 VR = 22 ΩL = 33 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 12 V 时它必须触发，恰好在开始后 250 ms。 已知 R = 47 kΩ，求所需的电容 C。
Vs = 15 VVth = 12 VT = 250 msR = 47 kΩ
C = µF
7.磁场与电磁感应中等
质子向页面上方运动，穿过均匀磁场（磁场方向垂直进入纸面）。点选它所受磁力的方向。
v: 向页面上方B: 垂直进入纸面
- 1向页面上方
- 2向右
- 3向页面下方
- 4向左
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 400 匝，长度为 40 cm，直径为 5 cm。当它通有 4 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。
N = 400l = 40 cm⌀ = 5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电感并联接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 20 mH
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 4.37 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.24² = 1.561 × 10⁶ N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0.16² = 2.809 × 10⁶ N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |1.561 × 10⁶ + 2.809 × 10⁶| = 4.37 × 10⁶ N/C
答案
E = 4.37 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: F = 7.023 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·1·1 × 10⁻¹²/0.04² = 5.619 N
F2 = k·3·1 × 10⁻¹²/0.08² = 4.214 N
矢量和
F = √(5.619² + 4.214²) = 7.023 N
答案
F = 7.023 N
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.576 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 20 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 10·24/(10+24) = 7.059 Ω
Req = R1 + 7.059 = 15 + 7.059 = 22.06 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/22.06 = 0.816 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.816·15 = 5.76 V
IR2 = VA/R2 = 5.76/10 = 0.576 A
答案
IR2 = 0.576 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.04918 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 8 + 20 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 4.941 Ω
R3 + 4.941 = 7.941 Ω
R2 ∥ 7.941 = 6.279 Ω
Req = R1 + 6.279 = 15 + 6.279 = 21.28 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 5/21.28 = 0.235 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0.235·15 = 1.475 V
IR2 = VA/R2 = 1.475/30 = 0.04918 A
答案
IR2 = 0.04918 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 2.079 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms
i(∞) = Vs/R = 24/22 = 1.091 A
求解时间
0.75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)
t = −1.5·ln(0.25) = 2.079 ms
答案
t = 2.079 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: C = 3.305 µF
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
12 = 15·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 12))
τ = 250/1.609 = 155.3 ms
电容
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
C = τ/R = 155.3/47 = 3.305 µF
答案
C = 3.305 µF
7.磁场与电磁感应
答案: 向左
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
右手定则
四指沿电流或速度方向，向 B 的方向弯曲；拇指指向正电荷所受的力。
v: 向页面上方, B: 垂直进入纸面
力的方向
向左
答案
F: 向左
8.磁场与电磁感应
答案: W = 7.896 mJ
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
自感
L = μ₀N²A/l = 987 µH
储存的能量
W = ½LI² = ½·0.000987·4² = 0.007896 J = 7.896 mJ
答案
W = 7.896 mJ
9.交流阻抗和相量
答案: I = 18.8 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = ωL = 2π·50·0.02 = 6.283 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 100/10 = 10 A
IX = V/XL = 100/6.283 = 15.92 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(10² + 15.92²) = 18.8 A
答案
I = 18.8 A
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 11.29 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.25 = 78.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·4.7·10⁻⁶) = 677.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−598.7)²) = 600 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 10/600 = 0.01667 A
电容电压
VC = I·XC = 0.01667·677.3 = 11.29 V
答案
VC = 11.29 V
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