库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
三个点电荷位于一条直线上：左边为 −1 µC，右边相距 10 cm 处为 −10 µC，两者之间距左边电荷 7.5 cm 处为 +4 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = −1 µCqR = −10 µCqM = +4 µCrL = 7.5 cmrR = 2.5 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 10 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 8 µC 沿另一条直角边距它 3 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 4 µCq2 = 8 µCq3 = 10 µCr13 = 6 cmr23 = 3 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 30 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 ΩR5 = 3 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 30 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 9 VR1 = 4.7 kΩR2 = 1 kΩC = 47 µFt = 30 ms
vC = V
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。 求 t = 80 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 5 VR = 1 kΩC = 47 µFvC(0) = 8 Vt = 80 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一个 α 粒子以 2 × 10⁵ m/s 的速度垂直于 1 T 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁵ m/sB = 1 T
r = cm
8.磁场与电磁感应困难
一个 50 匝的短线圈紧紧绕在一个 2000 匝、长 50 cm、直径 3 cm 的长螺线管的中部。求它们的互感 M。
N1 = 2000N2 = 50l = 50 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 22 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 569 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
每个电荷产生的力
向右为正。
FL = −k·1·4 × 10⁻¹²/0.075² = −6.393 N
FR = +k·10·4 × 10⁻¹²/0.025² = 575.4 N
合力
F = −6.393 + (575.4) = 569 N → |F| = 569 N
答案
F = 569 N
合力向右。
2.库仑定律与电场
答案: F = 805.3 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·4·10 × 10⁻¹²/0.06² = 99.89 N
F2 = k·8·10 × 10⁻¹²/0.03² = 799.1 N
矢量和
F = √(99.89² + 799.1²) = 805.3 N
答案
F = 805.3 N
3.串并联电阻
答案: IR1 = 3.173 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 2 + 3 = 5 Ω
R2 ∥ 5 = 6·5/(6+5) = 2.727 Ω
Req = R1 + 2.727 = 2 + 2.727 = 4.727 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 15/4.727 = 3.173 A
答案
IR1 = 3.173 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.4925 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 3 + 15 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 7.2 Ω
R3 + 7.2 = 13.2 Ω
R2 ∥ 13.2 = 9.167 Ω
Req = R1 + 9.167 = 2 + 9.167 = 11.17 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/11.17 = 1.612 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.612·2 = 14.78 V
IR2 = VA/R2 = 14.78/30 = 0.4925 A
答案
IR2 = 0.4925 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 0.8509 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容看到的戴维南等效电路
把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。
Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·1/(4.7 + 1) = 0.8246 kΩ
vC(∞) = 9·1/(4.7 + 1) = 1.579 V
时间常数
τ = Rth·C = 0.8246·47 = 38.75 ms
充电曲线
vC(t) = 1.579·(1 − e−30/38.75) = 0.8509 V
答案
vC = 0.8509 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 5.547 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms
vC(t) = 5 + (8 − 5)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(80) = 5 + (3)·e−80/47 = 5.547 V
答案
vC = 5.547 V
7.磁场与电磁感应
答案: r = 0.4148 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力的平衡
磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 6.645 × 10⁻²⁷·2 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·1) = 0.004148 m = 0.4148 cm
答案
r = 0.4148 cm
8.磁场与电磁感应
答案: M = 177.7 µH
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
互感
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·50·0.0007069/0.5 = 177.7 µH
答案
M = 177.7 µH
9.交流阻抗和相量
答案: φ = −78.42 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−97.56)²) = 99.59 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−97.56/20) = −78.42°
答案
φ = −78.42°
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.1937 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.2 = 75.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−45.17)²) = 51.63 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 10/51.63 = 0.1937 A
答案
I = 0.1937 A
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