库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+6 µC 和 +10 µC 的两个电荷相距 10 cm。在两者之间的连线上，距 +6 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +6 µCq2 = +10 µCd = 10 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
+10 µC 和 −10 µC 的两个电荷相距 16 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 6 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = −10 µCd = 16 cmh = 6 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 10 VR1 = 25 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 ΩR5 = 30 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。
Vs = 15 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
W = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 18.5 V？求 t。
Vs = 20 VR = 4.7 kΩC = 22 µFvC(0) = 15 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
一根长 25 cm 的金属杆以 4 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.6 T 均匀磁场中。导轨之间接有 2.5 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求电阻上消耗的功率 P。
B = 0.6 TL = 25 cmv = 4 m/sR = 2.5 Ω
P = mW
8.磁场与电磁感应困难
一个 100 匝、20 cm × 25 cm 的线圈在 0.2 T 的均匀磁场中绕垂直于磁场的轴转动。它必须以多大的转速 n（单位：转/分）转动，才能产生 222.1 V 的有效值电动势？
N = 100A = 20 cm × 25 cmB = 0.2 TErms = 222.1 V
n = rpm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 10 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路由 1 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。
V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 10 mHC = 10 µF
VL = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 4.365 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
6/x² = 10/(10 − x)²
(10 − x)/x = √(10/6) = 1.291
位置
x = 10/(1 + 1.291) = 4.365 cm
答案
x = 4.365 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: E = 1.438 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(8² + 6²) = 10 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.1² = 8.99 × 10⁶ N/C
分量
沿中垂线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(a/r) = 2·8.99 × 10⁶·0.8 = 1.438 × 10⁷ N/C
答案
E = 1.438 × 10⁷ N/C
电场平行于两电荷连线，从正电荷指向负电荷。
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.5607 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 8·32/(8+32) = 6.4 Ω
Req = R1 + 6.4 = 15 + 6.4 = 21.4 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 15/21.4 = 0.7009 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.7009·15 = 4.486 V
IR2 = VA/R2 = 4.486/8 = 0.5607 A
答案
IR2 = 0.5607 A
4.串并联电阻
答案: Req = 26.7 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 1.905 Ω
R3 + 1.905 = 3.905 Ω
R2 ∥ 3.905 = 1.697 Ω
Req = R1 + 1.697 = 25 + 1.697 = 26.7 Ω
答案
Req = 26.7 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: W = 0.969 mJ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0.7021 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A
给定时刻的电流
i(t) = 0.3191·(1 − e−1/0.7021) = 0.2423 A
储存的能量
W = ½·L·i² = ½·33·0.2423² = 0.969 mJ
答案
W = 0.969 mJ
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 124.5 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 22 µF = 103.4 ms
vC(t) = 20 + (15 − 20)·e−t/τ
求解时间
18.5 = 20 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (18.5 − 20)/(15 − 20) = 0.3
t = τ·ln((15 − 20)/(18.5 − 20)) = 103.4·ln(3.333) = 124.5 ms
答案
t = 124.5 ms
7.磁场与电磁感应
答案: P = 144 mW
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
动生电动势
ε = BLv = 0.6·0.25·4 = 0.6 V
电流
I = ε/R = 0.6/2.5 = 0.24 A
功率
P = εI = 0.6·0.24 = 0.144 W
答案
P = 144 mW
8.磁场与电磁感应
答案: n = 2999 rpm
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
峰值电动势
E₀ = √2·Erms = 314.1 V
角速度
ω = E₀/(NBA) = 314.1/(100·0.2·0.05) = 314.1 rad/s
每分钟转数
n = 60·314.1/(2π) = 2999 rpm
答案
n = 2999 rpm
9.交流阻抗和相量
答案: φ = −84.05 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.25 = 78.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−239.8)²) = 241.1 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−239.8/25) = −84.05°
答案
φ = −84.05°
10.交流阻抗和相量
答案: VL = 3.162 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s
I = V/R = 1/10 = 0.1 A
电感两端的电压
XL = ω₀L = 3162·0.01 = 31.62 Ω
VL = I·XL = 0.1·31.62 = 3.162 V
答案
VL = 3.162 V
这是电源电压的 Q = 3.162 倍。
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