库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+2 µC 和 +3 µC 的两个电荷相距 20 cm。在两者之间的连线上，距 +2 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +2 µCq2 = +3 µCd = 20 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 2.5 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 4 cm，板间电场为 2100 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 2.5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 2100 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 30 ΩR4 = 4 ΩR5 = 20 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。
Vs = 12 VR = 10 ΩL = 33 mHt = 5 ms
W = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 17.1 V？求 t。
Vs = 15 VR = 10 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
一个 250 匝、面积 150 cm²、电阻 8 Ω 的线圈构成闭合回路。垂直于线圈的均匀磁场在 40 ms 内从 0 T 均匀增大到 0.3 T。 求平均感应电流 I。
N = 250A = 150 cm²B: 0 T → 0.3 TΔt = 40 msR = 8 Ω
I = A
8.磁场与电磁感应困难
一个质子从静止开始，经电势差 5000 V 加速后，垂直进入 0.4 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0.4 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 47 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 8.99 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
2/x² = 3/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(3/2) = 1.225
位置
x = 20/(1 + 1.225) = 8.99 cm
答案
x = 8.99 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: y = 0.4727 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.04/2.5 × 10⁷ = 1.6 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2100/9.109 × 10⁻³¹ = 3.693 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·3.693 × 10¹⁴·(1.6 × 10⁻⁹)² = 0.0004727 m = 0.4727 mm
答案
y = 0.4727 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: Req = 19.11 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 3 + 20 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 5·23/(5+23) = 4.107 Ω
Req = R1 + 4.107 = 15 + 4.107 = 19.11 Ω
答案
Req = 19.11 Ω
4.串并联电阻
答案: Req = 12.71 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 3.636 Ω
R3 + 3.636 = 33.64 Ω
R2 ∥ 33.64 = 7.708 Ω
Req = R1 + 7.708 = 5 + 7.708 = 12.71 Ω
答案
Req = 12.71 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: W = 14.46 mJ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3.3 ms
i(∞) = Vs/R = 12/10 = 1.2 A
给定时刻的电流
i(t) = 1.2·(1 − e−5/3.3) = 0.9363 A
储存的能量
W = ½·L·i² = ½·33·0.9363² = 14.46 mJ
答案
W = 14.46 mJ
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 356.7 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms
vC(t) = 15 + (18 − 15)·e−t/τ
求解时间
17.1 = 15 + (3)·e−t/τ → e−t/τ = (17.1 − 15)/(18 − 15) = 0.7
t = τ·ln((18 − 15)/(17.1 − 15)) = 1000·ln(1.429) = 356.7 ms
答案
t = 356.7 ms
7.磁场与电磁感应
答案: I = 3.516 A
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = (0.3 − 0)·0.015 = 0.0045 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 250·0.0045/0.04 = 28.13 V
电流
I = ε/R = 28.13/8 = 3.516 A
答案
I = 3.516 A
8.磁场与电磁感应
答案: r = 2.555 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速后的速率
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·5000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 978551 m/s
磁场中的半径
r = mv/(|q|B) = 0.02555 m = 2.555 cm
答案
r = 2.555 cm
合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。
9.交流阻抗和相量
答案: I = 1.47 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−16.12)²) = 81.61 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 120/81.61 = 1.47 A
答案
I = 1.47 A
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 13.56 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (123.2)²) = 124.8 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 50/124.8 = 0.4005 A
电容电压
VC = I·XC = 0.4005·33.86 = 13.56 V
答案
VC = 13.56 V
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