物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +5 µC 的电荷与一个 −2 µC 的电荷相距 50 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 25 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +5 µCq₂ = −2 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

两个质量均为 5 g 的相同小球用长 60 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 5° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 60 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 2 AR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 120 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 15 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 68 µFt = 120 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个圆形回路位于磁场方向为垂直穿出纸面的均匀磁场中。磁场强度正在减小。点选图中所见的回路感应电流方向。

B: 垂直穿出纸面dB/dt < 0

1顺时针
2逆时针

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 100 匝，长度为 25 cm，直径为 1.5 cm。求它的自感 L。

N = 100l = 25 cm⌀ = 1.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 100 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 1 µF

V_C = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 1.007 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0.25² = 719200 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0.25² = 287680 N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |719200 + 287680| = 1.007 × 10⁶ N/C

答案

E = 1.007 × 10⁶ N/C

2.库仑定律与电场

答案: q = 72.26 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 5° = 0.004291 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 5° = 0.1046 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1046·√(0.004291/8.99 × 10⁹) = 7.226 × 10⁻⁸ C = 72.26 nC

答案

q = 72.26 nC

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.9825 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 5 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 3·7/(3+7) = 2.1 Ω

R_eq = R₁ + 2.1 = 15 + 2.1 = 17.1 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/17.1 = 1.404 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1.404·15 = 2.947 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.947/3 = 0.9825 A

答案

I_R2 = 0.9825 A

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.166 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 25 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 5.217 Ω

R₃ + 5.217 = 9.217 Ω

R₂ ∥ 9.217 = 6.734 Ω

R_eq = R₁ + 6.734 = 3 + 6.734 = 9.734 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/9.734 = 0.6164 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.6164·3 = 4.151 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.151/25 = 0.166 A

答案

I_R2 = 0.166 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 34.51 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0.94 ms

电流的衰减

i(t) = 2·e^−1/0.94 = 0.6903 A

v_R = R·i = 50·0.6903 = 34.51 V

答案

v_R = 34.51 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.842 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 15·6.8/(4.7 + 6.8) = 8.87 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 6.8·68 = 462.4 ms

放电

v_C(t) = 8.87·e^−120/462.4 = 6.842 V

答案

v_C = 6.842 V

7.磁场与电磁感应

答案: 逆时针

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

磁通量的变化

进入纸面的磁通量增大，或穿出纸面的磁通量减小。

感应电流的磁场

感应电流阻碍这一变化。

回路内部的感应磁场：穿出纸面。

电流的方向

右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。

逆时针

答案

逆时针

8.磁场与电磁感应

答案: L = 8.883 µH

横截面

A = π·(0.0075)² = 0.0001767 m²

自感

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0.0001767/0.25 = 8.883 × 10⁻⁶ H = 8.883 µH

答案

L = 8.883 µH

9.交流阻抗和相量

答案: φ = 86.34 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1.592 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (312.6)²) = 313.2 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(312.6/20) = 86.34°

答案

φ = 86.34°

10.交流阻抗和相量

答案: V_C = 422.1 V

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159.2 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−33.49)²) = 86.73 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/86.73 = 2.652 A

电容电压

V_C = I·X_C = 2.652·159.2 = 422.1 V

答案

V_C = 422.1 V

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