库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +6 µC 的电荷与一个 −3 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 10 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +6 µCq2 = −3 µCr1 = 10 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 3.5 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 10 cm，板间电场为 2600 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 3.5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 2600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 ΩR5 = 3 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 电流降到 0.25 A 需要多长时间？求 t。
i(0) = 1 AR = 22 ΩL = 47 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 17.4 V？求 t。
Vs = 24 VR = 2.2 kΩC = 100 µFvC(0) = 2 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
一个质子以 1.5 × 10⁵ m/s 的速度垂直进入均匀磁场，沿半径 0.1566 cm 的圆运动。求磁感应强度 B。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1.5 × 10⁵ m/sr = 0.1566 cm
B = T
8.磁场与电磁感应困难
一个 20 匝的短线圈紧紧绕在一个 500 匝、长 25 cm、直径 3 cm 的长螺线管的中部。螺线管中的电流以 500 A/s 变化。求短线圈中感应出的电动势 ε。
N1 = 500N2 = 20l = 25 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 500 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ε = mV
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。
V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF
f0 = Hz
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 5.694 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.1² = 5.394 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0.3² = 299667 N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |5.394 × 10⁶ + 299667| = 5.694 × 10⁶ N/C
答案
E = 5.694 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: y = 1.866 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.1/3.5 × 10⁷ = 2.857 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2600/9.109 × 10⁻³¹ = 4.573 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·4.573 × 10¹⁴·(2.857 × 10⁻⁹)² = 0.001866 m = 1.866 mm
答案
y = 1.866 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.7059 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 2 + 4 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω
Req = R1 + 4.286 = 3 + 4.286 = 7.286 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/7.286 = 2.471 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 2.471·3 = 10.59 V
IR2 = VA/R2 = 10.59/15 = 0.7059 A
答案
IR2 = 0.7059 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 1.002 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 3 + 20 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 4.107 Ω
R3 + 4.107 = 12.11 Ω
R2 ∥ 12.11 = 4.012 Ω
Req = R1 + 4.012 = 8 + 4.012 = 12.01 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/12.01 = 1.499 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.499·8 = 6.012 V
IR2 = VA/R2 = 6.012/6 = 1.002 A
答案
IR2 = 1.002 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 2.962 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms
求解时间
0.25 = 1·e−t/τ → t = τ·ln(1/0.25)
t = 2.136·ln(4) = 2.962 ms
答案
t = 2.962 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 264.9 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 100 µF = 220 ms
vC(t) = 24 + (2 − 24)·e−t/τ
求解时间
17.4 = 24 + (−22)·e−t/τ → e−t/τ = (17.4 − 24)/(2 − 24) = 0.3
t = τ·ln((2 − 24)/(17.4 − 24)) = 220·ln(3.333) = 264.9 ms
答案
t = 264.9 ms
7.磁场与电磁感应
答案: B = 1 T
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
由半径求磁场
B = mv/(|q|r) = 1.673 × 10⁻²⁷·1.5 × 10⁵/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.001566) = 1 T
答案
B = 1 T
8.磁场与电磁感应
答案: ε = 17.77 mV
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
互感
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·20·0.0007069/0.25 = 35.53 µH
感应电动势
ε = M·di/dt = 3.553 × 10⁻⁵·500 = 17.77 mV
答案
ε = 17.77 mV
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.06759 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−146.6)²) = 147.9 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 10/147.9 = 0.06759 A
答案
I = 0.06759 A
10.交流阻抗和相量
答案: f0 = 225.1 Hz
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·10·10⁻⁶)) = 225.1 Hz
答案
f0 = 225.1 Hz
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