库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
三个点电荷位于一条直线上：左边为 +10 µC，右边相距 10 cm 处为 −3 µC，两者之间距左边电荷 5 cm 处为 −5 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +10 µCqR = −3 µCqM = −5 µCrL = 5 cmrR = 5 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 2 g 的相同小球用长 60 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 5° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 2 gL = 60 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 10 ms 时的电流 i。
Vs = 9 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 10 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 5.4 V 时它必须触发，恰好在开始后 50 ms。 已知 C = 47 µF，求所需的电阻 R。
Vs = 9 VVth = 5.4 VT = 50 msC = 47 µF
R = kΩ
7.磁场与电磁感应中等
一个 10 匝线圈的面积为 50 cm²。线圈位于垂直于其平面的 0.3 T 均匀磁场中，该磁场在 500 ms 内被关断。 求平均感应电动势 ε。
N = 10A = 50 cm²B = 0.3 TΔt = 500 ms
ε = mV
8.磁场与电磁感应困难
一个 α 粒子不发生偏转地通过正交电场 E = 8 × 10⁴ V/m 和磁场 B₁ = 0.5 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 0.25 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。
E = 8 × 10⁴ V/mB1 = 0.5 TB2 = 0.25 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个 L = 2 mH 的 RLC 串联电路必须在 2000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。
f0 = 2000 HzL = 2 mH
C = µF
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 233.7 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
每个电荷产生的力
向右为正。
FL = −k·10·5 × 10⁻¹²/0.05² = −179.8 N
FR = −k·3·5 × 10⁻¹²/0.05² = −53.94 N
合力
F = −179.8 + (−53.94) = −233.7 N → |F| = 233.7 N
答案
F = 233.7 N
合力向左。
2.库仑定律与电场
答案: q = 45.7 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 5° = 0.001717 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 5° = 0.1046 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1046·√(0.001717/8.99 × 10⁹) = 4.57 × 10⁻⁸ C = 45.7 nC
答案
q = 45.7 nC
3.串并联电阻
答案: IR1 = 0.7401 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 20 + 3 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 5·23/(5+23) = 4.107 Ω
Req = R1 + 4.107 = 4 + 4.107 = 8.107 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 6/8.107 = 0.7401 A
答案
IR1 = 0.7401 A
4.串并联电阻
答案: Req = 16.57 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 3.59 Ω
R3 + 3.59 = 5.59 Ω
R2 ∥ 5.59 = 4.568 Ω
Req = R1 + 4.568 = 12 + 4.568 = 16.57 Ω
答案
Req = 16.57 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.2425 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4.545 ms
i(∞) = Vs/R = 9/33 = 0.2727 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.2727·(1 − e−10/4.545) = 0.2425 A
答案
i = 0.2425 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: R = 1.161 kΩ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
5.4 = 9·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(9/(9 − 5.4))
τ = 50/0.9163 = 54.57 ms
电阻
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
R = τ/C = 54.57/47 = 1.161 kΩ
答案
R = 1.161 kΩ
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 30 mV
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = 0.3·0.005 = 0.0015 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 10·0.0015/0.5 = 0.03 V
答案
ε = 30 mV
8.磁场与电磁感应
答案: r = 1.327 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 8 × 10⁴/0.5 = 160000 m/s
第二个磁场中的半径
r = mv/(|q|B2) = 0.01327 m = 1.327 cm
答案
r = 1.327 cm
9.交流阻抗和相量
答案: C = 3.166 µF
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振条件
谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0.002) = 3.166 µF
答案
C = 3.166 µF
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 314.4 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.2 = 75.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−189.9)²) = 194 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 230/194 = 1.185 A
电容电压
VC = I·XC = 1.185·265.3 = 314.4 V
答案
VC = 314.4 V
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