库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+10 µC 和 +5 µC 的两个电荷相距 40 cm。在两者之间的连线上，距 +10 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +10 µCq2 = +5 µCd = 40 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 1 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 3 cm，板间电场为 2700 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 2700 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 ΩR5 = 10 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。
Vs = 12 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。 求 t = 1000 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 5 VR = 4.7 kΩC = 100 µFvC(0) = 3 Vt = 1000 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一个质子以 4 × 10⁵ m/s 的速度垂直于 1 T 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁵ m/sB = 1 T
r = cm
8.磁场与电磁感应困难
一个 100 匝、20 cm × 15 cm 的线圈在 0.4 T 的均匀磁场中，以 900 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。
N = 100A = 20 cm × 15 cmB = 0.4 Tn = 900 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电感并联接在 120 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。
V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 200 mH
|Z| = Ω
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 24 V (rms)f = 500 HzR1 = 40 ΩR2 = 20 ΩC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 23.43 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
10/x² = 5/(40 − x)²
(40 − x)/x = √(5/10) = 0.7071
位置
x = 40/(1 + 0.7071) = 23.43 cm
答案
x = 23.43 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: y = 2.137 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.03/1 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2700/9.109 × 10⁻³¹ = 4.748 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·4.748 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0.002137 m = 2.137 mm
答案
y = 2.137 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.4074 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 2 + 20 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 10·22/(10+22) = 6.875 Ω
Req = R1 + 6.875 = 10 + 6.875 = 16.88 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 10/16.88 = 0.5926 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.5926·10 = 4.074 V
IR2 = VA/R2 = 4.074/10 = 0.4074 A
答案
IR2 = 0.4074 A
4.串并联电阻
答案: Req = 11.54 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 10 + 15 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 6.061 Ω
R3 + 6.061 = 18.06 Ω
R2 ∥ 18.06 = 5.544 Ω
Req = R1 + 5.544 = 6 + 5.544 = 11.54 Ω
答案
Req = 11.54 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.7585 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 12/10 = 1.2 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1.2·(1 − e−1/1) = 0.7585 A
答案
i = 0.7585 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 4.762 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 100 µF = 470 ms
vC(t) = 5 + (3 − 5)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(1000) = 5 + (−2)·e−1000/470 = 4.762 V
答案
vC = 4.762 V
7.磁场与电磁感应
答案: r = 0.4177 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力的平衡
磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 1.673 × 10⁻²⁷·4 × 10⁵/(1.602 × 10⁻¹⁹·1) = 0.004177 m = 0.4177 cm
答案
r = 0.4177 cm
8.磁场与电磁感应
答案: Erms = 79.97 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s
A = 0.03 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 100·0.4·0.03·94.25 = 113.1 V
有效值
Erms = 113.1/√2 = 79.97 V
答案
Erms = 79.97 V
9.交流阻抗和相量
答案: |Z| = 35.34 Ω
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = ωL = 2π·60·0.2 = 75.4 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 120/40 = 3 A
IX = V/XL = 120/75.4 = 1.592 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(3² + 1.592²) = 3.396 A
阻抗
|Z| = V/I = 120/3.396 = 35.34 Ω
答案
|Z| = 35.34 Ω
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.5018 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 6.871 − j9.498 Ω
总阻抗
Z = 40 + 6.871 − j9.498 = 46.87 − j9.498 Ω
|Z| = √(46.87² + 9.498²) = 47.82 Ω
电流
I = V/|Z| = 24/47.82 = 0.5018 A
答案
I = 0.5018 A
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