库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +4 µC 的电荷与一个 +10 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +4 µCq2 = +10 µCr1 = 12 cmr2 = 8 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
+10 µC 和 −10 µC 的两个电荷相距 8 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 10 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = −10 µCd = 8 cmh = 10 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 ΩR5 = 6 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。
Vs = 10 VR = 10 ΩL = 68 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 求 t = 300 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 9 VR = 4.7 kΩC = 47 µFvC(0) = 15 Vt = 300 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一根长 40 cm 的金属杆以 2 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 1 T 均匀磁场中。导轨之间接有 5 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求使杆保持匀速运动所需的力 F（无摩擦）。
B = 1 TL = 40 cmv = 2 m/sR = 5 Ω
F = mN
8.磁场与电磁感应困难
一个 100 匝的短线圈紧紧绕在一个 1500 匝、长 25 cm、直径 3 cm 的长螺线管的中部。求它们的互感 M。
N1 = 1500N2 = 100l = 25 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 100 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 50 HzR1 = 30 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 1.155 × 10⁷ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.12² = 2.497 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.08² = 1.405 × 10⁷ N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |2.497 × 10⁶ − 1.405 × 10⁷| = 1.155 × 10⁷ N/C
答案
E = 1.155 × 10⁷ N/C
2.库仑定律与电场
答案: E = 5.757 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(4² + 10²) = 10.77 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.1077² = 7.75 × 10⁶ N/C
分量
沿中垂线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(a/r) = 2·7.75 × 10⁶·0.3714 = 5.757 × 10⁶ N/C
答案
E = 5.757 × 10⁶ N/C
电场平行于两电荷连线，从正电荷指向负电荷。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 1.189 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 20 + 12 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 10·32/(10+32) = 7.619 Ω
Req = R1 + 7.619 = 5 + 7.619 = 12.62 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 15/12.62 = 1.189 A
答案
IR1 = 1.189 A
4.串并联电阻
答案: Req = 17.35 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 6 + 6 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 4.8 Ω
R3 + 4.8 = 6.8 Ω
R2 ∥ 6.8 = 5.346 Ω
Req = R1 + 5.346 = 12 + 5.346 = 17.35 Ω
答案
Req = 17.35 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 20.37 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6.8 ms
i(∞) = Vs/R = 10/10 = 1 A
求解时间
0.95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)
t = −6.8·ln(0.05) = 20.37 ms
答案
t = 20.37 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 10.54 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 47 µF = 220.9 ms
vC(t) = 9 + (15 − 9)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(300) = 9 + (6)·e−300/220.9 = 10.54 V
答案
vC = 10.54 V
7.磁场与电磁感应
答案: F = 64 mN
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
动生电动势
ε = BLv = 1·0.4·2 = 0.8 V
电流
I = ε/R = 0.8/5 = 0.16 A
制动力
楞次定律：感应电流所受的力阻碍运动。
F = BIL = 1·0.16·0.4 = 0.064 N
答案
F = 64 mN
8.磁场与电磁感应
答案: M = 533 µH
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
互感
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·100·0.0007069/0.25 = 533 µH
答案
M = 533 µH
9.交流阻抗和相量
答案: φ = 37.9 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.25 = 78.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (46.71)²) = 76.04 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(46.71/60) = 37.9°
答案
φ = 37.9°
10.交流阻抗和相量
答案: I = 1.192 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 51.2 − j21.23 Ω
总阻抗
Z = 30 + 51.2 − j21.23 = 81.2 − j21.23 Ω
|Z| = √(81.2² + 21.23²) = 83.93 Ω
电流
I = V/|Z| = 100/83.93 = 1.192 A
答案
I = 1.192 A
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