库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+6 µC 和 +4 µC 的两个电荷相距 60 cm。在两者之间的连线上，距 +6 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +6 µCq2 = +4 µCd = 60 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
+10 µC 和 −10 µC 的两个电荷相距 16 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 12 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = −10 µCd = 16 cmh = 12 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 5 ΩR5 = 8 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时的电流 i。
i(0) = 1.5 AR = 100 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 500 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 24 VR1 = 2.2 kΩR2 = 4.7 kΩC = 47 µFt = 500 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一个 500 匝线圈的面积为 25 cm²。线圈位于垂直于其平面的 0.2 T 均匀磁场中，该磁场在 250 ms 内被关断。 求平均感应电动势 ε。
N = 500A = 25 cm²B = 0.2 TΔt = 250 ms
ε = V
8.磁场与电磁感应困难
一个 100 匝、5 cm × 25 cm 的线圈在 0.25 T 的均匀磁场中，以 1200 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E0。
N = 100A = 5 cm × 25 cmB = 0.25 Tn = 1200 rpm
E0 = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 47 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 1 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 33.03 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
6/x² = 4/(60 − x)²
(60 − x)/x = √(4/6) = 0.8165
位置
x = 60/(1 + 0.8165) = 33.03 cm
答案
x = 33.03 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: E = 4.795 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(8² + 12²) = 14.42 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.1442² = 4.322 × 10⁶ N/C
分量
沿中垂线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(a/r) = 2·4.322 × 10⁶·0.5547 = 4.795 × 10⁶ N/C
答案
E = 4.795 × 10⁶ N/C
电场平行于两电荷连线，从正电荷指向负电荷。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 3.724 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 2 + 20 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 2·22/(2+22) = 1.833 Ω
Req = R1 + 1.833 = 3 + 1.833 = 4.833 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/4.833 = 3.724 A
答案
IR1 = 3.724 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 1.596 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 8 + 10 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 3.913 Ω
R3 + 3.913 = 7.913 Ω
R2 ∥ 7.913 = 2.175 Ω
Req = R1 + 2.175 = 6 + 2.175 = 8.175 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/8.175 = 2.202 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 2.202·6 = 4.789 V
IR2 = VA/R2 = 4.789/3 = 1.596 A
答案
IR2 = 1.596 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.01592 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0.22 ms
电流的衰减
i(t) = 1.5·e−1/0.22 = 0.01592 A
答案
i = 0.01592 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 1.7 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容的初始电压
稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。
vC(0) = 24·4.7/(2.2 + 4.7) = 16.35 V
开关断开后的时间常数
τ = R2·C = 4.7·47 = 220.9 ms
放电
vC(t) = 16.35·e−500/220.9 = 1.7 V
答案
vC = 1.7 V
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 1 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = 0.2·0.0025 = 0.0005 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 500·0.0005/0.25 = 1 V
答案
ε = 1 V
8.磁场与电磁感应
答案: E0 = 39.27 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·1200/60 = 125.7 rad/s
A = 0.0125 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 100·0.25·0.0125·125.7 = 39.27 V
答案
E0 = 39.27 V
9.交流阻抗和相量
答案: φ = −24.41 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.1 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−36.31)²) = 87.85 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−36.31/80) = −24.41°
答案
φ = −24.41°
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 176.9 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−161.2)²) = 180 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 100/180 = 0.5556 A
电容电压
VC = I·XC = 0.5556·318.3 = 176.9 V
答案
VC = 176.9 V
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