物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++2 µC−−2 µCP40 cm

一个 +2 µC 的电荷与一个 −2 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 10 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q1 = +2 µCq2 = −2 µCr1 = 10 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
++P2 × 4 cm12 cm+5 µC+5 µC

+5 µC 和 +5 µC 的两个电荷相距 8 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 12 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +5 µCq2 = +5 µCd = 8 cmh = 12 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​15 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​12 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 ΩR5 = 3 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 68 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 6 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = ?C2.2 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 10.8 V 时它必须触发，恰好在开始后 250 ms。 已知 C = 2.2 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 12 VVth = 10.8 VT = 250 msC = 2.2 µF
R = kΩ
7.磁场与电磁感应中等
R = 4 Ωv = 6 m/sL = 80 cmB = 0.4 T

一根长 80 cm 的金属杆以 6 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.4 T 均匀磁场中。导轨之间接有 4 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求电流 I。

B = 0.4 TL = 80 cmv = 6 m/sR = 4 Ω
I = mA
8.磁场与电磁感应困难
I = 0.5 Al = 25 cmN = 800, ⌀ 3 cm

一个长空心螺线管有 800 匝，长度为 25 cm，直径为 3 cm。当它通有 0.5 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 800l = 25 cm⌀ = 3 cmI = 0.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.交流阻抗和相量中等
10 V50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µFI

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 5 ΩL = 2 mHC = 2.2 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 5 Ω，L = 2 mH，C = 2.2 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 5 ΩL = 2 mHC = 2.2 µF
Q =

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 1.998 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.1² = 1.798 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.3² = 199778 N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |1.798 × 10⁶ + 199778| = 1.998 × 10⁶ N/C

答案

E = 1.998 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场

答案: E = 5.33 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

一个电荷的距离和电场

r = √(4² + 12²) = 12.65 cm
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.1265² = 2.809 × 10⁶ N/C

分量

沿两电荷连线方向的分量抵消。

E = 2·E1·(h/r) = 2·2.809 × 10⁶·0.9487 = 5.33 × 10⁶ N/C

答案

E = 5.33 × 10⁶ N/C

电场沿中垂线方向，背离两个电荷。

3.串并联电阻

答案: IR1 = 0.4737 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​15 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 5 + 15 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 15 + 4 = 19 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/19 = 0.4737 A

答案

IR1 = 0.4737 A
4.串并联电阻

答案: IR2 = 0.3974 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBR6​12 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 12 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 1.765 Ω
R3 + 1.765 = 11.76 Ω
R2 ∥ 11.76 = 6.593 Ω
Req = R1 + 6.593 = 10 + 6.593 = 16.59 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/16.59 = 0.904 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.904·10 = 5.96 V
IR2 = VA/R2 = 5.96/15 = 0.3974 A

答案

IR2 = 0.3974 A
5.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 0.006683 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0.1471 ms
i(∞) = Vs/R = 6/68 = 0.08824 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−1/0.1471 = 0.006683 V

答案

vL = 0.006683 V
6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 49.35 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

10.8 = 12·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(12/(12 − 10.8))
τ = 250/2.303 = 108.6 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 108.6/2.2 = 49.35 kΩ

答案

R = 49.35 kΩ
7.磁场与电磁感应

答案: I = 480 mA

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.4·0.8·6 = 1.92 V

电流

I = ε/R = 1.92/4 = 0.48 A

答案

I = 480 mA
8.磁场与电磁感应

答案: W = 284.2 µJ

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

自感

L = μ₀N²A/l = 2.274 mH

储存的能量

W = ½LI² = ½·0.002274·0.5² = 0.0002842 J = 284.2 µJ

答案

W = 284.2 µJ
9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.03867 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−255.5)²) = 258.6 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/258.6 = 0.03867 A

答案

I = 0.03867 A
10.交流阻抗和相量

答案: Q = 6.03

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.002·2.2·10⁻⁶)) = 2399 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.002/(2.2·10⁻⁶)) = 6.03

答案

Q = 6.03

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